Работа консервативных сил на пути равна убыли потенциальной энергии точки в данном поле.

Заметим, что точке 0 можно задать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии, так как путем измерения работы можно определить только разность потенциальных энергий в двух точках, но не абсолютное значение. Однако, как только зафиксировано, назначено значение потенциальной энергии в одной из точек поля - сразу же задаются значения потенциальной энергии во всех других точках.

Примеры

РИС. 2-15

Пример 1 Сила тяжести

( - орт оси , направлен вертикально вверх).

.

Потенциальная энергия для однородной силы тяжести .

Пример 2 Кулоновская или гравитационная сила

( - гравитационная, - кулоновская).

Потенциальная энергия .

Пример 3 Упругая сила . Потенциальная энергия .

Определение поля сил по заданной потенциальной энергии

Работа силы равна убыли потенциальной энергии:

- для элементарной работы.

Скалярное произведение можно записать в другом виде:

.

Пусть перемещение происходит по какому-нибудь выделенному направлению, например по оси . Тогда

.

Проекция силы на ось : .

Аналогично: ; .

Умножая на единичные орты и складывая, получаем:

,

где - вектор-оператор «набла».

- вектор, можно рассматривать как символическое умножение вектора-оператора на скаляр .

Введем понятие о градиенте скалярной функции

Градиент скалярной функции есть вектор , направленный по нормали к поверхности в сторону возрастания функции .

РИС. 2-16

Итак, если задана потенциальная энергия как функция положения точки , силовое поле определяется соотношением

.