Указания к выполнению практической работы

Для решения логарифмических неравенств необходимо:

а) используя свойства логарифмов и известные приёмы решения логарифмических уравнений, привести неравенство к виду:

;

b) составить основное неравенство, используя свойство:

если а>1, то f(x)<g(x) (знак неравенства сохраняется);

если 0<a<1, то f(x)>g(x) (знак неравенства меняется на противоположный);

c) к основному неравенству присоединить неравенства ОДЗ:

f(x)>0;

g(x)>0;

a>0;

a¹1

и решить полученную систему неравенств.

Пример 1.

Решение. а) Приведём неравенство к нужному виду. Для этого число –1/2 умножим на , а затем по свойству логарифма степени получим:

b) Составим основное неравенство. Т. к. основание 0<1/49<1, то знак неравенства нужно поменять: .

с) Добавим неравенства ОДЗ и решим получившуюся систему:

Ответ:

Пример 2.

Решение. Приведём уравнение к нужному виду, для этого заменим сумму логарифмов на логарифм произведения.

Сначала решим квадратное неравенство методом интервалов:

.

Теперь надо найти общее решение системы:

Ответ:

Пример 3.

Решение. Приведём уравнение к нужному виду и составим систему неравенств:

Основание логарифмов 0<0,5<1, поэтому знак неравенства необходимо поменять:

1-ое неравенство: 2-ое неравенство:

Теперь найдём общее решение системы. Для этого нанесём решения двух неравенств на числовую прямую и посмотрим, где решения пересекутся:

Ответ:

Замечание. Если основание логарифма также содержит переменную x ( ), то данное неравенство сводится к решению двух систем алгебраических неравенств:

Тогда множество решений логарифмического неравенства находится как объединение множеств решений этих двух систем.

Пример.

Решение.Приведём неравенство к нужному виду, для этого число 2 умножим на и получим:

Т. к. основание логарифма содержит переменную x, то данное неравенство сводится к решению двух систем алгебраических неравенств:

Сначала решим квадратное неравенство:

Для 1-ой системы нам подходит интервал , а для второй . Теперь изобразим решения двух систем:

Ответ:

Контрольные вопросы:

1) Какое неравенство называется логарифмическим?

2) О каких свойствах логарифмической функции полезно помнить при решении логарифмических неравенств?

3) Каковы этапы решения логарифмического неравенства? Какие неравенства ОДЗ надо включить в систему неравенств?

4) Как решается логарифмическое неравенство, если в основании логарифма также содержится переменная x?