КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод суперпозиций.
Предмет метода Монте- Карло.
Случайные числа.
Разыгрывание дискретной случайной величины.
Разыгрывание противоположных событий.
Разыгрывание полной группы событий.
Разыгрывание непрерывной случайной величины.
Метод обратных функций.
Метод суперпозиций.
1.Предмет метода Монте – Карло.
Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда американские ученые Н. Метрополис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте -Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте-Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку- одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.
ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.).
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величинуX, математическое ожидание которой равно а:
М(Х) =а.
Практически же поступают так: производят п испытаний, в результате которых получают п возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а.
Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения.
Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».
Рассмотрим пример, иллюстрирующий метод статистических испытаний:
Система контроля качества продукции состоит из трех приборов. Вероятность безотказной работы каждого
из них в течение времени Т равна 5/6. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного прибора вся система перестает работать. Найти вероятность Ротк того, что система откажет за время Т.
Решим задачу аналитически и методом статистических испытаний.
Аналитическое решение. Событие А (выход из строя хотя бы одного из трех приборов за время Т) и событие А (ни один из трех приборов не выйдет из строя за время Т) - противоположные. Вероятность Р (А) =(5/6)3. Искомая вероятность
Теперь решим задачу методом статистических испытаний. Напомним, что при использовании данного метода возможны два подхода: либо непосредственно проводят эксперименты, либо имитируют их другими экспериментами, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру. В условиях данной задачи «натуральный» эксперимент- наблюдение за работой системы в течение времени Т. Многократное повторение этого эксперимента может оказаться трудноосуществимым или просто невозможным. Заменим этот эксперимент другим.
Для определения того, выйдет или не выйдет из строя за время Т отдельный прибор, будем подбрасывать игральную кость. Если выпадет одно очко, то будем считать, что прибор вышел из строя; если два, три, ..., шесть очков, то будем считать, что прибор работал безотказно. Вероятность того, что выпадет одно очко, так же как и вероятность выхода прибора из строя, равна 1/6, а вероятность того, что выпадет любое другое число очков, как и вероятность безотказной работы прибора, равна 5/6.
Чтобы определить, откажет или нет вся система за время Т, будем подбрасывать три игральные кости (или одну кость три раза). Если хотя бы на одной из трех костей выпадет одно очко, то это будет означать, что система отказала.
Повторим испытание, состоящее в подбрасывании трех игральных костей, много раз подряд и найдем отношение числа т «отказов» системы к общему числу п проведенных испытаний. Вероятность отказа
2.Случайные числа.
Ранее было указано, что метод Монте- Карло основан на применении случайных чисел; дадим определение этих чисел. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1).
Случайными числами называют возможные значения rj непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (О, 1).
В действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R, возможные значения которой имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R*, возможные значения которой имеют конечное число знаков. В результате замены R на R* разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенно заданное распределение. В приложении приведена таблица случайных чисел.
Случайная величина R* обладает свойством: вероятность попадания ее в любой интервал, принадлежащий интервалу (0; 1) равна длине этого интервала.
Функция плотности fR*(x)=1; интегральная функция FR*(x)= x; математическое ожидание МR*(x)=1/2; дисперсия DR*(x)= 1/12.
3.Разыгрывание дискретной случайной величины.
Пусть требуется разырать ДСВ с известным законом распределения:
| X | x1 | x2 | … | xn |
| p | p1 | p2 | … | pn |
Обозначим равномерно распределенную СВ в интервале (0, 1) через R, а ее возможные значения (случайные числа) - rj.
Разобьем интервал [0, 1) точками с координатами р1, р1+р2, , р1+р2+р3, …, р1+р2+р3 +…+рn-1 на n частичных интервалов :
.
Длина Di каждого из них равна вероятности рi .
Далее поступаем так: выбираем из таблицы случайных чисел какое –либо случайное число rj, если оно попало в интервал Di , то разыгрываемая СВ приняла возможное значение хi.
Пример: ДСВ задана законом распределения:
| X | 3 | 11 | |
| p | 0,25 | 0,16 | 0,59 |
Разыграть 8 значений данной ДСВ.
Разобьем интервал (0, 1) на частичные интервалы:
Выпишем из таблицы случайных чисел 8 значений : 0,1; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.
Определим какому интервалу принадлежит каждое из этих чисел и получим соответствующие значения ДСВ:
Аналогично получаем остальные значения ДСВ. Итак, возможные значения Х равны: 3, 11, 3, 24, 3, 24, 11, 24.
4.Разырывание противоположных событий.
Пусть требуется разыграть испытания в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью 1-р.
Заменим противоположные события А и А случайной величиной Х. Будем считать, что, если значение СВХ равно 0, то произошло А , если СВХ приняла значение 1, то произошло событие А. Тогда разыгрывание противоположных событий сводится к разыгрыванию ДСВХ с известным законом распределения.
Пример: Разыграть 5 испытаний , в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р= 0,35.
Заменим А и А ДСВХ, которая имеет закон распределения:
| Х | ||
| Р | 0,35 | 0,65 |
Получим два интервала:
Из таблицы выпишем 5 случайных чисел: 0,1; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12.
Получим следующие значения ДСВХ: 1, 0, 1, 0, 1. Им соответствуют события: А, А , А, А , А.
5. Разырывание полной группы событий.
При разыгрывании полной группы несовместных событий поступают также, как при разыгрывании противоположных событий. События полной группы заменяют какими- либо числами, например последовательностью натуральных чисел 1,2,3…, тогда получаем ДСВХ с известным законом распределения, правило разыгрывания значений которой уже было рассмотрено.
Пример: События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых, вероятность появления А равна 0,6, вероятность появления В равна 0,2.
Составим полную группу событий и вычислим вероятности их появлений, используя теорему умножения вероятностей независимых событий.
Возможны 4 исхода:
Проверка: 0,12+0,48+0,08+0,32=1.
Заменим события числами 1, 2, 3, 4 с соответствующими вероятностями, получим ДСВХ с законом распределения:
| Х | ||||
| Р | 0,12 | 0,48 | 0,08 | 0,32 |
Разобьем интервал (0, 1) на частичные интервалы (0; 0,12), (0,12; 0,6), (0,6; 0,68), (0,68; 1).
Выпишем 6 случайных чисел: 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,7.
Получим значения ДСВХ: 2, 3, 1, 2, 2, 4. Определяем соответствующие события: А2, А3, А1, А2 ,А2, А4.
6. Разыгрывание непрерывной случайной величины.
6.1.Метод обратных функций.
Пусть требуется разыuрать НСВХ, зная функцию распределения F(x). Воспользуемся теоремой:
Если ri- случайное число, то возможное значение хi разыгрываемой НСВХ с заданной функцией распределения F(x), соответствующее ri , является корнем уравнения
F(xi) =ri .
На основании данной теоремы сформулируем правило разырывания значений НСВХ, знаяя ее функцию распределения F(x):
Необходимо выбрать случайное число ri, приравнять его функции распределения и решить относительно хi уравнение: F(xi) =ri .
Пример: НСВХ распределена по показательному закону. требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений Х.
Известно, что функция распределения при показательном законе имеет вид
Составим и решим относительно х уравнение:
откуда:
Выбирая случайные числа ri , подставляя их в полученную явную формулу, разыграем возможные значения НСВХ.
Если известна плотность распределения НСВХ, то для разыгрывания значений НСВХ , решают уравнение:
Пример: Задана плотность вероятности НСВХ:
вне этого интервала – 0. Найти явную формулу для разыгрывания значений НСВХ.
Составим и решим относительно хi уравнение:
6.2.Метод суперпозиции.
Пусть функция распределения разыгрываемой НСВХ задана линейной комбинацией двух функций распределения: F(x)= C1 F1(x) +C2 F2(x) , где C1>0, C2>0. При х¥® каждая из функций распределения стремится к единице, , поэтому C1 + C2 =1.
Введем вспомогательную ДСВZ с законом распределения:
| Z | ||
| p | C1 | C2 |
Выберем два независимых случайных числа r1 и r2 . По числу r1 разыграем возможное значение Z. Если z=1, то возможное значение х найдем из уравнения F1(x) = r2, а если z =2, то из уравнения F2(x) = r2.
Пример: Найти явные формулы для разыгрывания НСВХ, заданной функцией распределения :
F(x) = 1- 0,25(e-2x + 3e-x).
Используя метод суперпозиций, представим функцию в виде F(x) =0,25(1 – e-2x) +0,75 (1 – e-x).
Откуда С1 =0,25; С2 =0,75; F1(x) = 1 – e-2x, F2(x) = 1 – e-x.
Введем ДСВZ:
| Z | ||
| p | 0,25 | 0,75 |
Интервал (0;1) разобьем на частичные интервалы (0; 0,25) и (0,25; 1).
Выберем случайные числа r1 и r2 . Если r1 принадлежит интервалу (0; 0,25), то решаем уравнение: 1 – e-2x= r2, если r1 принадлежит интервалу (0,25; 1), то – уравнение: 1 – e-x = r2. Таким образом, получаем возможные значения НСВХ.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит сущность метода Монте- Карло?
2. Что называют «разыгрыванием случайной величины» ?
3. Определение случайных чисел. Свойство квазиравномерной случайной величины.
4. Правило разыгрывания ДСВХ.
5. Правило разыгрывания противоположных событий.
6. Правило разыгрывания полной группы событий.
7. Правило разыгрывания НСВХ методом обратных функций.
8. Правило разыгрывания НСВХ методом суперпозиций.
Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 397; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| ІІ Тести і задачі | | | Суть метода |