Суть метода

Метод Монте - Карло

Название метода связано с названием города Монте – Карло, где в казино играют в рулетку. Рулетка – одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан метод Монте – Карло.

Метод Монте – Карло используют:

· Для вычисления интегралов

· Для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка

· Для исследования сложных систем: экономических, биологических, социальных.

Суть метода

Требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирается такая случайная величина X, что ее математическое ожидание M(X)=a.

Генерируется n значений случайной величины X, вычисляется их среднее арифметическое . В качестве оценки искомого числа а принимают .

Метод Монте – Карло требует проведения большого числа испытаний n. Поэтому называется еще методом статистических испытаний.

Отыскание возможных значений случайной величины X (моделирование) называют разыгрыванием случайной величины.

Вычисление определенного интеграла методом статистических испытаний (методом Монте - Карло)

Вычислим методом статистических испытаний следующий интеграл

,

где функция y = f(x) непрерывна, и положительна на отрезке [a, b]

Из курса математики известно, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = а, х = b, осью абсцисс и графиком функции y = f(x) (см. рис.1).

рис.1

В курсе теории вероятностей приводится несколько определений вероятности. По геометрическому определению в плоскости вероятность попадания в область d точки, брошенной в область D (d Ì D) равна отношению площадей, то есть

.

По статистическому определению вероятность наступления события приближенно равна отношению числа опытов m, в результате которых событие наступило, к общему числу всех опытов n, то есть

.

В геометрическом определении в качестве области d будем рассматривать криволинейную трапецию, в качестве D – прямоугольник {a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}. В статистическом определении в качестве проводимого опыта возьмем бросание точки в прямоугольник D, а в качестве события – попадание точки в область d. Получаем формулу

P = .

Отсюда формула

Тогда для решения задачи нужно провести достаточное количество опытов – n. Опыт заключается в случайном выборе точки (x_i, y_i) из D:

a ≤ x_i ≤ b, 0 ≤ y_i ≤ f(x).

Так же необходимо подсчитать количество опытов m, в которых точка (x_i, y_i) принадлежит криволинейной трапеции, то есть y_i ≤ f(x_i). Тогда интеграл можно вычислить по формуле

.

Результат вычисления интеграла будет тем точнее, чем больше опытов будет проведено.