Метод Остроградского

Если знаменатель правильной рациональной дроби имеет комплексные кратные корни, то разложение этой дроби на простые будет содержать дроби IV -го типа, интегрирование которых связано с громоздкими выкладками. Для подобных интегралов М.В.Остроградским был придуман остроумный метод. Этот метод основан на анализе интегралов от простых дробей 4-х типов. Интегралы от дробей I-го и III -го типов являются нерациональными функциями. Интеграл от дроби II-го типа является правильной рациональной дробью со знаменателем, равным тому же двучлену в степени на единицу меньшей. Интеграл от дроби IV-го типа равен сумме правильной рациональной дроби со знаменателем, равным тому же трёхчлену в степени на единицу меньшей, и интеграла вида , приводящегося к арктангенсу. Тогда, если знаменатель правильной рациональной дроби имеет вид:

то рациональная часть интеграла равна сумме правильных рациональных дробей со знаменателями , , ..., , , , ..., ,

т.е. она представляет собой правильную рациональную дробь , где

Сумма дробей I-го и III-го типов, интегралы от которых представляют собой нерациональные функции, будет равна: , где

Таким образом, мы приходим к тождеству, полученному Остроградским: + .

Здесь и - многочлены с неопределёнными коэффициентами, их степени естественно задать на единицу меньше степеней многочленов и соответственно. Для вычисления неопределённых коэффициентов данное тождество следует продифференцировать, привести результат справа к общему знаменателю и сопоставить коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей.

Проиллюстрируем метод М.В.Остроградского примерами.

Пример 1. .

Согласно методу Остроградского получим:

.

Дифференцируя данное тождество, будем иметь:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях, получим систему алгебраических уравнений для определения значений неизвестных :

Из и следует, что . Из : ; из и имеем ; из и следует, что ;

из имеем: ; поэтому из получаем: , а, значит, , .

Таким образом, тожество принимает вид:

.

Под интегралом справа имеем сумму простых дробей I–го и III–го типов: .

Итак, исходный интеграл равен:

= .

Пример 2. .

Применение метода Остроградского приводит нас к тождеству:

.

После дифференцирования этого тождества будем иметь:

.

Приводим справа к общему знаменателю и приравниваем коэффициенты в числителях при одинаковых степенях :

;

Из 2-го и 7-го, 3-го и 8-го, 4-го и 9-го, 5-го и 10-го уравнений следует: Из 6-го и последнего уравнений получим: .

Итак, исходный интеграл принимает следующий вид:

.

Интеграл легко может быть найден с помощью элементарных преобразований методом подведения под знак дифференциала:

.

Следовательно,