Задача 1. Составить уравнение Гамильтона-Якоби для движения в поле силы тяжести свободной материальной точки массы m

Составить уравнение Гамильтона-Якоби для движения в поле силы тяжести свободной материальной точки массы m. В качестве обобщенных координат взять декартовы координаты.x, y, z.

Решение. Запишем функцию Гамильтона:

Н=Т + П = +mgz или .

Заменим импульсы на производные функции S, и функция Гамильтона принимает вид

Запишем уравнение Гамильтона-Якоби:

Задача 2.

Решить предыдущую задачу, приняв в качестве обобщенных сферические координаты r,j,q.

Решение. Запишем функцию Гамильтона в виде

.

Заменим импульсы на производные функции S и функция Гамильтона принимает вид

.

Запишем уравнение Гамильтона-Якоби:

.

Задача 3. Составить уравнение Гамильтона-Якоби для описания движения математического маятника, если P -его вес, Iz -момент инерции относительно оси, а – расстояние до центра тяжести маятника. В качестве обобщенной координаты выберем угол j отклонения маятника от вертикали.

Решение. Запишем кинетическую энергию маятника:

Далее получаем для сопряженного обобщенного импульса:

откуда .

Сила тяжести потенциальна, связь идеальна и стационарна. Значит функция Гамильтона равна полной механической энергии маятника: H=T+P.

Потенциальная энергия маятника равна P+ - Рy = -Ра cosj.

В результате имеем - Ра cosj.

Чтобы воспользоваться этой формулой для вывода канонических уравнений, надо исключить обобщенную скорость. - Ра cosj.

В данном случае канонические уравнения маятника имеют вид

,

---------

Для определения соответствующей производящей функции надо решить уравнение Гамильтона-Якоби: .

Запишем , - Ра cosj, - Ра cosj =0.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------