ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 173

смотр понятия Д. на рубеже 19—20 вв. не был до кон­ца последовательным. В связи с обострившимися про­блемами непротиворечивости науч. теорий Гильберт выдвинул программу формализации Д. дедуктивных . теорий, предполагающую не только явное указание всех исходных понятий и исходных предложений (ак­сиом) каждой данной теории, но л такое же явное ука­зание всех используемых в выводах (в частности, в Д.) этой теории логич. средств. При такой постановке во­проса проблема убедительности (правильности) Д. по­лучает объективный характер. Оказалось возможным представить науч. теорию в виде исчисления, или фор­мальной системы, состоящей из формул, получаю­щихся из формул нек-рого исходного запаса (аксиом) посредством чисто механич. применения правил вы­вода.

Последоват. формализация понятия Д. открывает возможность передачи нек-рых функций человека элек­тронным вычислит. машинам. Однако из этого не сле­дует заключение о возможности сведения всех содержат.

аспектов понятия Д. к формальным: правила вы­вода, хотя они и имеют дело с формальными объ­ектами (формулами), формулируются на содержат. языке, а все проблемы, касающиеся природы формаль­ных исчислений в целом, ставятся и решаются чис­то содержат. средствами (см. Метатеория). Именно эти содержат. рассуждения (и содержат. Д.) составля­ют предмет самой теории Д.

Более того, было доказано, что задача полной и од­новременно непротиворечивой формализации даже та­ких относительно простых математич. теорий, как ариф­метика (теория чисел), в принципе неосуществима, так что в них всегда имеется нек-рый «неформализуе-мый остаток» (К. Гёдель, 1931). Наконец, никакая фор­мализация дедуктивных теорий не снимает проблемы их интерпретации, т. е. соотнесения с нек-рой опи­сываемой ею и внешней для неё реальности, адекват­ность к-рого только и может быть в конечном счёте обоснованием истинности теории в целом. См. также Интуиционизм, Конструктивное направление.

• Энгельс Ф., Анти-Дюринг, M a p к с К. и Э н г е л ь с Φ., Соч., т. 20; Ленин В. И., Материализм и змпириокритицизм, ПСС, т. 18; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.—Л., 1948; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; А с-м у с В. Ф., Учение логики о Д. и опровержении, [M.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Π о и а Д., Математика и правдоподобные рассужде­ния, пер. с англ., Μ., 1975²; Т а к е у т и Г., Теория Д., пер. с англ., М., 1978; Д ρ а г а л и н А. Г., Математич. интуицио­низм. Введение в теорию Д., М., 1979; Крайзель Г., Ис­следования по теории Д., пер. с англ., М., 1981.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО(лат. reduc-tio ad absurdum), вид доказательства, при к-ром «до­казывание» нек-рого суждения (тезиса доказатель­ства) осуществляется через опровержение противоре­чащего ему суждения — антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с к.-л. заведомо истинным сужде­нием. Этой форме Д. от п. соответствует след. схема доказательства: если В истинно и из А следует лож­ность В, то А — ложно. Другая, более общая форма Д. от п. — это доказательство путём опровержения (обо­снования ложности) антитезиса по правилу: допу­стив А, вывели противоречие, следовательно — не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отри­цательным суждением. В последнем случае Д. от п. опирается на двузначности принцип и закон двойного отрицания. Помимо указанных выше, существует «па­радоксальная» форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: суждение А можно считать до­казанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.

• Слупецкий Е., Борковский Л., Элементы ма­тематич. логики и теория множеств, пер. спольск., М., 1965.