Теорема синусов

.

Синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Синусы сторон сфери-ческого треугольника АВС пропорциональны синусам его углов:

.

Рис. 6

Для доказательства этой теоремы соединим вершины сферического треугольника АВС (рис. 6) с центром сферы О, в результате чего возникнет трехгранный угол ОАВС. Из вершины С опустим перпендикуляр СD на противоположную грань ОАВ трехгранного угла. Из полученной точки D опустим перпендикуляры DN и DM на радиусы ОА и ОВ и соединим прямыми точку С с точками M и N.

Из элементарной геометрии следует, что CN OA ( так как DN OA) и СМ ОВ (так как DM OB). Таким образом, угол CND - это линейный угол двугранного угла СОАВ , соответствующий углу А рассматриваемого сферического треугольника. Точно так же угол CMD - сферический угол В.

Из рассмотрения прямоугольных треугольников NDC и МDC с общим катетом CD получим

CM ^. sin B = CN ^. sin A. (9)

Отрезки CM и CN можно выразить, рассмотрев прямоугольные треугольники ОМС и ONC. Углы МОС и NOC при общей вершине О этих треугольников соответствуют сторонам а и в сферического треугольника АВС. На основании этого можно записать

CM = OC ^. sin a, CN = OC ^. sin в.

Подставив эти выражения в равенство (9), получим

OC ^. sin a ^. sin B = OC ^. sin в ^. sin A.

Откуда sin a ^. sin B = sin A ^. sin в, т.е. Аналогично можно получить

Следовательно,

, (10)

что и требовалось доказать.