Построение сплайна.

Введение.

Некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части , a= .

Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция S(x), которая: На каждом отрезке , является многочленом степени не выше третьей; Имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке [a,b]; В точках выполняется равенство S( , т. е. сплайн S(x) интерполирует функцию f в точках

Постановка задачи.

Дано:

Функция, которую требуется проинтерполировать.

Отрезок, на котором это требуется сделать.

Количество узлов N, в которых значение нашего сплайна будет совпадать со значением данной функции.

Задача:

Построить кубический сплайн и проследить за его поведением при различном количестве узлов интерполирования.

Построение сплайна.

Будем рассматривать случай, когда расстояние между узлами интерполирования постоянно. Примем его равному h:

Наша задача сводится к нахождению на каждом отрезке коэффициентов полинома третьей степени, который можно записать в виде:

Тогда:

Условия непрерывности производных до второго порядка включительно в узлах интерполирования записываются в виде:

Условие интерполяции:

Получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

Так как , то, используя метод прогонки трехдиагональной матрицы можем найти с, затем найти все остальные коэффициенты и следовательно уравнения кубических многочленов для всех отрезков разбиения.