КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Кубические сплайны. Составитель И.А.Селиванова, ст.преподаватель.ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
Составитель И.А.Селиванова, ст.преподаватель. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ:Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Вычислительная математика» Указания предназначены для студентов всех форм обучения направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника».
© ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ», 2008 СОДЕРЖАНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ. 3 1.1. Кубические сплайны. 3 1.2. Специальная форма записи сплайна. 4 1.3. Квадратичные сплайны. 12 1.4. Задание на практику. 15 1.5. Варианты заданий. 16 Список литературы.. 18 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ.
В случаях, когда промежуток [a,b], на котором требуется заменить функцию f(x) велик, можно применить интерполяцию сплайнами.
Кубические сплайны.
Интерполяционные сплайны 3-го порядка - это функции, состоящие из кусков многочленов 3-го порядка. В узлах сопряжения обеспечивается непрерывность функции, ее первой и второй производных. Аппроксимирующая функция составляется из отдельных многочленов, как правило, одинаково небольшой степени, определенных каждый на своей части отрезка [a,b]. Пусть на отрезке [a,b] вещественной оси x задана сетка , в узлах которой определены значения функции f(x). Требуется построить на отрезке [a,b] непрерывную функцию-сплайн S(x), которая удовлетворяет следующим условиям: 1. На каждом отрезке сплайн является многочленом третьей степени:
2. В узлах сплайн принимает заданные значения , т.е.
3. Во внутренних узлах сплайн имеет непрерывную первую и вторую производные, т.е. в узлах сопряжения сплайнов их первые и вторые производные должны быть равны:
Для построения искомого сплайна требуется найти коэффициенты многочленов , i=1,…n, т.е. 4n неизвестных коэффициента, которые удовлетворяют 4n-2 уравнениям (1), (2), (3). Чтобы система уравнений имела решение, добавляют еще два дополнительных (краевых) условия. Используется три типа краевых условий: I)
Сплайн, определяемый (4) называется естественным кубическим сплайном. II)
III)
Условия (1), (2), (3) и одно из условий (4), (5), (6) образуют СЛАУ порядка 4n. Решение системы можно провести с помощью метода Гаусса. Однако, выбрав специальную форму записи кубического многочлена, можно существенно снизить порядок решаемой системы уравнений.
|