Интерполяция кубическим сплайном. Сплайном (или кусочно-сопряженной функцией) называют такую функцию, кривая которой состоит из отрезков полиномиальных кривых; эти отрезки состыкованы так

Сплайном (или кусочно-сопряженной функцией) называют такую функцию, кривая которой состоит из отрезков полиномиальных кривых; эти отрезки состыкованы так, что производные полученной функции (до порядка на единицу меньшей степени используемых полиномов) непрерывны на всем рассматриваемом промежутке.

Общий вид кубического сплайна при использовании его для вертикальной координаты определяется следующей формулой

U(z)=A+B(z-z₀)+C(z-z₀)²+D(z-z₀)³, (5.87)

где A, B, C, D - коэффициенты сплайна, z₀ - начальная высота слоя. Для каждого слоя вычисляются свои коэффициенты.

Введем номер уровня, который изменяется от z₀ (у поверхности Земли) до высоты z_n, кроме этого, определим толщину каждого слоя и зададим номер слоя. На границе слоев i и i+1 используются условия непрерывности первых и вторых производных, а также непрерывности самой функции. Следовательно, коэффициенты сплайна двух соседних слоев будут связаны друг с другом.

В этом случае вместо коэффициентов A, B, C, D можно ввести коэффициенты для границ каждого слоя: m₀, m₁,…, m_n, которые подлежат определению по известным значениям функций U₀, U₁, …, U_n, заданных на высотах z₀, z₁, …, z_n.

При определении коэффициентов ставятся условия

m₀=m_n=0. (5.88)

Для определения остальных коэффициентов решается система уравнений

(5.89)

Здесь h₁толщина 1-го слоя (z₁-z₀), h₂ – 2-го слоя, h_n- n-го слоя.

После нахождения коэффициентов m_i, функция U на любой высоте z, находящейся между уровнями z_i и z_i+1 может быть определена по формуле:

, (5.90)

где z_i -высота нижнего уровня слоя, z_i+1 -высота верхнего уровня, h_i+1-толщина слоя, U_i , U_i+1–измеренные значения метеоэлемента на высотах, соответствующих границам слоя.