ЛЕКЦИЯ 14 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

1 Основные положения и соотношения метода

2 Вычислительный эксперимент

3 Описание программного комплекса

4 Особенности расчета конструкций из композиционных материалов

1 Основные положения и соотношения метода

Возникновение МКЭ связано с решением задач космических исследований и относится к 1950 г., хотя развитие вспомогательных дисциплин (теория стержневых конструкций, матричная алгебра) началось значительно раньше (1850 г.). Впервые этот метод был опубликован в работе американских ученых Тернера М.; Клужа Р.; Мартина Х. и Топпа Л. Большой вклад в развитие МКЭ внесли советские ученые Розин Л. А., Михлин С. Г., Постнов В. А. и др.

Большое значение для теоретической разработки МКЭ имеет сделанное в 1963 г. представление этого метода как одного из вариантов метода Ритца для решения вариационных задач. Связь МКЭ с процедурой минимизации некоторого функционала привела к его использованию не только в задачах строительной механики, но и к решению задач, описываемых уравнениями Лапласа, Пуассона (задачи теплопроводности, гидромеханики) и др.

Дальнейшее развитие МКЭ привело к его распространению на решение любых дифференциальных уравнений на основе метода Галеркина, обеспечивающего получение уравнений для свойств конечных элементов. Таким образом, более общее теоретическое обоснование МКЭ исключает строгую необходимость вариационной формулировки физической задачи.

Однако при изучении основных положений МКЭ (применительно к тематике данных лабораторных работ) целесообразно использовать наиболее наглядную, традиционную интерпретацию данного метода. Будем рассматривать МКЭ, используя идею прямого приближенного решения вариационной формулировки проблемы, на основе которой строится для каждого конечного элемента связь: воздействие на КЭ (например, сила, тепловой поток) - ответная реакция КЭ (перемещение). Дискретизация сплошной среды в виде элементов, связанных конечным числом узловых связей, позволяет с одной стороны сохранить свойства среды в каждом КЭ, а с другой, наличие конечного числа связей позволяет свести математическое описание поведения конструкции к конечному числу алгебраических уравнений.

В отличие от метода конечных разностей аппроксимация, положенная в основу МКЭ, имеет явно выраженную физическую природу, что облегчает контроль за решением задачи при использовании метода.

Исходя из вышеотмеченного, основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление, перемещение необходимо аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (конечных элементов). Эти кусочно-непрерывные функции определяются внутри каждого КЭ с помощью значений функции в узловых точках. Для каждого элемента может быть определен свой вид функции, но эти функции подбираются так, чтобы сохранялась их непрерывность вдоль границ элементов.

Основная концепция МКЭ может быть наглядно проиллюстрирована на примере решения простейшей одномерной задачи. Поскольку все элементы двигателя находятся под воздействием не только механических нагрузок, но и температуры (а задача теплопроводности может так же решаться посредством МКЭ) выберем в качестве наглядного примера задачу распределения температуры в стержне (рис.1).

Все дальнейшие рассуждения будем проводить применительно к задачам линейной теории упругости.

Разбиение области L на конечные элементы может быть проведено различными способами. Можно, например, использовать четыре конечных элемента с линейным распределением температуры (рис.2-а)). Можно взять два элемента, но для повышения точности аппроксимации ввести в эти элементы дополнительные узловые точки и использовать при этом аппроксимацию полиномом второй степени (рис.2-б)).

Необходимо отметить, что во втором случае приближение будет также кусочно-непрерывным, т.к. углы наклона кривых каждого элемента в точке их контакта будут различны.

Вводя конечные элементы, мы переходим от бесконечного множества неизвестных температур в точках непрерывного стержня (рис.1) к конечному числу неизвестных температур в узловых точках дискретного стержня (рис. 2-а), 2-б)), так как в каждом конечном элементе между узловыми точками температура изменяется по известному заранее заданному закону. Задача при этом сводится к нахождению таких значений узловых температур, которые обеспечат наилучшее приближение к истинному распределению температуры.

Рис.2-а) .Линейная аппроксимация Рис.2-б). Аппроксимация

распределения Т распределения Т параболой

Это приближение осуществляется путем минимизации функционала, связанного с физической сущностью задачи. Для задачи распространения тепла минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением теплопроводности. Минимизация этого функционала в классе кусочно-непрерывных функций сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений относительно узловых температур.

Приведенные рассуждения аналогично могут быть сформулированы для двух- и трехмерных областей.

При решении осесимметричных задач, наиболее характерных для расчета конструктивных элементов ЛА, применяются осесимметричные элементы, имеющие треугольное или четырехугольное сечение (рис. 3).

Разбиение области на подобласти (КЭ) представляет собой первый шаг на пути решения задачи. Этот шаг не имеет еще строгого теоретического обоснования. Искусство разбиения области на КЭ зависит от имеющихся навыков. Дискретизация тела на КЭ включает задание числа, размеров и формы КЭ, которые используются для построения дискретной модели реального тела. Здесь необходимо учитывать, что, с одной стороны, элементы должны быть достаточно малыми для достижения высокой точности, но с другой, применение более крупных элементов сокращает вычислительную работу. Поэтому в зонах ожидаемых высоких градиентов исследуемой функции (например, температуры) уменьшают размеры КЭ и увеличивают их там, где ожидаемые значения функции изменяются незначительно. Возможность варьирования размеров элементов - важное достоинство метода конечных элементов.

Выделим ряд важных приемов, применяемых при дискретизации тела на КЭ.

Если граница тела криволинейна, то криволинейные границы элементов заменяют прямолинейными (или другими), используемыми в данном КЭ.

Не рекомендуется использовать КЭ, удлиненные в одном направлении, т.к. это снижает точность решения задачи.

Не обеспечит повышение точности использование конечных элементов, слишком сильно отличающихся по размерам (более чем в 100 раз).

При моделировании тел, бесконечно протяженных в одном или нескольких направлениях, необходимо ограничивать дискретную модель достаточно большой областью, так чтобы значения параметров на границе согласовались бы с достаточной точностью с известными данными.

2 Вычислительный эксперимент

Внедрение и развитие методологии вычислительного эксперимента в механике сплошной среды связано с работами ученых А.А.Самарского, О.М.Белоцерковского, Г.И.Марчука, Л.И.Седова, А.А.Ильюшина, А.М.Липанова.

К вычислительному эксперименту можно отнести расчеты на ЭВМ, удовлетворяющие ряду требований:

· расчеты выполняются для сложных процессов, характеризующихся одновременной реализацией нескольких различных взаимозависимых явлений;

· математические модели численно, алгоритмически и программно реализованы совокупностью различных методик;

· математические модели, положенные в основу численных решений задач, проверены системой тестов, а так же экспериментальными результатами и другими известными решениями;

· алгоритм программного комплекса, реализующий вычислительный эксперимент, обязан обеспечивать широкий диапазон вариации конструктивных, теплофизических и других параметров процессов при моделировании работы изделия;

· при проведении расчетов необходимо обеспечение возможности гибкого и оперативного изменения физической постановки отдельных блоков алгоритма с целью уточнения характера протекающих в конструкциях процессов;

· структура программного комплекса должна быть "открытой" с целью возможности внесения изменений;

· способ получения результатов вычислительных экспериментов должен обладать высокой степенью визуального представления, иметь современный интерфейс, обеспечивающий возможность эффективного анализа исследуемых процессов;

· интерфейс общения с пользователем должен быть максимально упрощен.

Стоит отметить, что большинство исследований по теории вычислительного эксперимента сформулировано применительно к задачам газовой динамики и внутренней баллистики. В данном пособии произведено обобщение принципов построения вычислительного эксперимента на случай его применения к анализу взаимосвязанных тепловых и термодеформационных процессов.

Вычислительный эксперимент не противостоит натурному, а, напротив, дополняет его и позволяет планировать натурные исследования, определяя области возможного ожидания искомых эффектов. Вычислительный эксперимент не может заменить натурного, он может лишь снизить объем натурных исследований.

Вычислительный эксперимент, имея огромные перспективы развития, представляет собой универсальный метод научного исследования и научно-обоснованного выбора параметров проектируемых изделий, и является концептуальной основой, которая объединяет и подчиняет единой цели – совершенствованию элементов конструкций – математические модели, численные методы и натурный эксперимент. Достоинство вычислительного эксперимента – универсальность, а так же способность накапливать опыт проектирования и отработки изделий в виде математических моделей, численных методик, пакетов прикладных программ. Вычислительный эксперимент, обладая мощным потенциалом существующих и разрабатываемых в отрасли методик, позволяет оперативно переключаться с одной проблемы на другую на этапах структурного и параметрического синтеза перспективных образцов реактивного вооружения, в процессе их модернизации и натурных испытаний.

Считается, что в процессе отработки изделий методами вычислительного эксперимента не следует стремиться к полной идентификации результатов численных расчетов с результатами натурных испытаний. Такой итог является асимптотическим (идеальным), справедливым лишь тогда, когда физические модели будут построены без каких либо допущений, что труднодостижимо на современном этапе развития научно-технического творчества. Наиболее рациональной стратегией реализации вычислительного эксперимента следует считать такую, при которой накапливается поле численных результатов, полученных при варьировании исходных данных с учетом их неопределенности и при варьировании вариантов физических моделей, заложенных в функциональное наполнение программно-математического комплекса. На основе сформированного поля численных результатов можно построить научно-обоснованный прогноз состояний рабочих параметров изделия в период его работы. В тоже время нанесение на это поле экспериментальных кривых позволяет уточнить характер протекающих процессов, выделить явления оказывающие наибольшее влияние на рабочий процесс, снизить уровень неопределенности по ряду параметров и исходных данных.

Применение вычислительного эксперимента становится особенно актуальным при проектировании качественно новых образцов вооружения и военной техники, когда еще не до конца сформирована физическая модель функционирования конструкций, не совсем ясна качественная картина протекающих в элементах конструкции процессов, в условиях недостатка информации о механизме внутреннего взаимодействия изучаемых явлений. Известны примеры, когда в результате вычислительного эксперимента были открыты неизвестные ранее эффекты, позднее обнаруженные в натурных экспериментах. В процессе вычислительного эксперимента во многих случаях происходит уточнение физической модели, принимаемой для упрощенных математических моделей, использующихся на первых этапах проектирования конструкций. Таким образом, вычислительный эксперимент выступает как средство научного прогноза, предсказывающего поведение сложных систем, к которым относится ракетный комплекс.

При создании систем и образцов вооружения и военной техники применение вычислительного эксперимента имеет ряд важных достоинств:

· обеспечивается получение результатов с затратами, значительно меньшими, чем при использовании натурного моделирования;

· появляется возможность получения результатов, которые принципиально не могут быть получены при натурном моделировании;

· отсутствуют трудности, связанные с масштабным фактором;

· возникает возможность установления физических закономерностей, реализующихся в рассматриваемых явления и процессах;

· появляется возможность прогнозирования работоспособности и параметров функционирования деталей и узлов ДС при использовании перспективных, не реализованных ранее на практике конструкционных материалов и топлив;

· сокращается время разработки и, следовательно, увеличивается срок (моральной) жизни образца.

Общепринятая на сегодняшний день точка зрения на вычислительный эксперимент определяет его, как систему расчетов, основанную на взаимосвязи двух фаз - фазы формирования и уточнения на основе натурных экспериментов математической модели исследуемого процесса и фазы прогноза, которая реализуется с помощью этой модели и является источником информации об изучаемом явлении. При этом подчеркивается, что исследования проводятся на основе достаточно полных моделей, с учетом сложности реальной геометрии, реальных свойств среды, с использованием новых эффективных численных методов.

Одним из наиболее эффективных численных методов, получивших в последнее время широкое распространение для решения сложных задач механики сплошной среды, строительной механики, теории теплопроводности и других, является метод конечных элементов (МКЭ). Достоинством этого метода является удобство произвольной дискретизации конструкции и аппроксимация сложных границ деталей, возможность совместного решения задач теплопроводности и термомеханического деформирования, относительно простая реализация нелинейности и анизотропии теплофизических характеристик материалов. Отмеченные преимущества метода МКЭ объясняют его выбор многими исследователями в качестве численного метода решения задач нестационарной теплопроводности в элементах конструкций ракетных комплексов.

В основу программно-вычислительного комплекса, используемого для проведения вычислительных экспериментов в рамках данных лабораторных работ, так же положен МКЭ. Для полного понимания основных принципов работы с программным комплексом рассмотрим особенности данного метода.

3 Описание программного комплекса

Рассмотрим особенности работы с программно-вычислительным комплексом " Динамика и термопрочность конструкций " на примере моделирования двумерных (плоских и осесимметричных) процессов.

Данный вычислительный комплекс может быть реализован на персональной ЭВМ в операционной системе Windows. Внутренний язык программирования – стандартный алгоритмический язык высокого уровня С++.

Общий алгоритм расчетов можно условно представить в виде подалгоритмов решения задач теплопроводности и напряженно-деформированного состояния (НДС), а так же двух вспомогательных элементов – препроцессора и постпроцессора, предназначенных для подготовки исходных данных и представления результатов моделирования в удобной для проектировщика форме.

Основными шагами алгоритма, реализующего вычислительные эксперименты, являются:

- формирование задания и исходных данных на расчет конструкции;

- задание теплофизических и механических свойств;

- формирование конечно-элементной сетки и границ (формирование дискретной модели);

- ввод граничных и начальных условий;

- вычисление времени процесса;

- решение тепловой задачи;

- формирование сил температурной нагрузки;

- решение механической задачи;

- организация на шаге по времени сопряжения тепловой и механической задач (при необходимости – в итерационном процессе);

- организация и управление ходом расчета, сохранение текущего состояния, вывод результатов;

- проверка условия окончания расчета.

Представленная структура алгоритма дает возможность прервать ход решения, оценить динамику сходимости, корректировать дальнейшие вычислительные процессы, начиная их с первичной операции, а так же позволяет повысить помехозащищенность вычислительного процесса.

В практическом отношении препроцессор реализован при помощи программы Viz2, совместимой с основной программой Term2 и другими программными модулями комплекса, и являющейся приложением к ним. Программа препроцессора представляет собой самостоятельное приложение, однако это не ограничивает возможности программного комплекса, так как многозадачная операционная система позволяет параллельное выполнение нескольких приложений.

Постпроцессор обеспечивает визуальное представление получаемых результатов вычислительных экспериментов. Возможны цветные контурные и векторные представления, графики, представление результатов в виде изолиний; регулируемый, задаваемый пользователем масштаб изображения; построение сечений и вывод в них результатов; графический запрос результатов; построение графиков зависимостей переменных от времени; анимация истории процессов, движения потоков, процессов деформирования и нагрева. Постпроцессор не является самостоятельным программным модулем, он входит в состав основной программы Term2 и запускается автоматически в ходе проводимых расчетов, в соответствии с заданным временным шагом вывода требуемой информации на монитор.

На рис.4 – 5 показан интерфейс программных модулей при различных вариантах представления результатов расчета.

Рис.4 Внешний вид работающей программы препроцессора: дискретизация лопасти блока стабилизаторов.

Рис.5 Внешний вид работающей программы при моделировании динамики НДС соплового торца заряда СТТ в период срабатывания воспламенителя: а) в форме цветовой градации; б) в форме изолиний.

Основные принципы работы с программным комплексом

Работа с программным комплексом Term2 включает в себя использование пяти файлов:

Term2.fil

Term2.dan

Term2.geo

Term2.rez

Term2.exe

Файл Term2.exe – выполняющий. Term2.rez – файл результатов, структура этого файла достаточно проста и не нуждается в дополнительных комментариях. В файле Term2.fil содержится информация об именах файлов физических данных (Term2.dan), геометрии (Term2.geo) и результатов, используемых в данном вычислительном эксперименте.

В основе подготовки вычислительного эксперимента лежит формирование дискретной модели конструкции, информация о которой записывается в файл *.geo. Для наиболее быстрого и удобного создания дискретной модели предназначена программа препроцессора Viz2. В файл с расширением *. Dan заносится информация о теплофизических и термомеханических свойствах материалов элементов конструкции, о типах границ, а так же параметрах расчета (шаг интегрирования, время расчета и т. д.). Подробному описанию этих файлов посвящены две последующие лабораторные работы.

В соответствии с основными принципами проведения вычислительного эксперимента на базе теоретико-вычислительного комплекса ДиТПК, перед началом расчетов производится построение дискретной модели исследуемой конструкции. Исходными данными для этого является ее чертеж или эскиз. При использовании программы препроцессора Viz2 поверхность или контур конструкции вводится с помощью стандартных периферийных устройств компьютера (мыши, клавиатуры), аналогично тому, как это осуществляется в стандартных программах САПР.

На следующем шаге производится дискретизация конструкции на конечные элементы и формирование ее конечно-элементной модели. При этом существует возможность увеличения степени дискретизации в местах ожидаемых больших градиентов искомых параметров.

Программный комплекс позволяет автоматически формировать конечно-элементную геометрию областей классической формы, наиболее часто встречающихся в конструкциях ЛА (например, параллелепипеда, полого цилиндра, цилиндрической или конической оболочки, прямоугольной области и других). Стоит отметить, что заранее определить достаточное число элементов для достижения заданной точности невозможно. Первоначально, степень дискретизации определяется инженером, на основании опыта проделанных расчетов и его научной интуиции, и уточняется последовательным решением задачи при измельчении сетки.

Далее осуществляется задание границ, на которых будут формироваться граничные условия, а так же ввод типов материалов элементов конструкции и толщин оболочки. При необходимости, на данном этапе можно указать точки, в которых должны быть построены графики изменения параметров во времени, а также сечения трехмерных областей для визуализации полей исследуемых величин. Существует возможность сохранения введенной геометрии для последующего использования. Программный комплекс позволяет редактировать построенные ранее геометрические модели; инженером может производиться удаление и добавление элементов, перемещение узлов, оптимизация формы и нумерации узлов и т.д.

При формировании конечно-элементной (дискретной) модели геометрии рассчитываемого узла препроцессор выполняет следующие функции:

- автоматизированное вычисление узловых координат элементов дискретной модели, в соответствии с чертежом конструкции;

- интегрирование КЭ в ансамбль, управление графическим выводом геометрии модели на монитор ПЭВМ;

- автоматизированная нумерация КЭ и их узлов в ансамбле;

- определение связи узлов в общей композиции КЭ с внутренней нумерацией каждого КЭ.

- оптимизация нумерации узлов с целью уменьшения ширины ленты матрицы жесткости;

- определение границы исследуемой области, на которой будут формироваться граничные условия различных типов;

- сохранение нумерации КЭ, матрицы связи узлов, номеров точек границ, номеров слоев.

Препроцессор имеет сеточный генератор, включающий автоматизированные со средствами визуализации процедуры разбиения на конечные элементы областей произвольной геометрии, операции оптимизации, сглаживания и сгущения сеток. Реализована цветовая и цифровая индикация элементов и геометрических примитивов согласно их атрибутам, символьное представление нагрузок, граничных и начальных условий, вывод изображений в различных графических форматах.

Порядок работы с программой “Viz2”:

- Сразу после входа в главное окно необходимо воспользоваться значком "Ввод контура", выполненным в виде изображения карандаша, рисующего линию, и задать координаты области контура (координаты Х – горизонтальная, и У – вертикальная).

- Вести эскиз требуемого контура при помощи мыши, нанеся нужное количество узловых точек.

- Затем провести точную коррекцию узловых точек с помощью кнопки со значком "Перемещение узла", скорректировав узлы строго по координатам (правой клавишей мыши).

- При необходимости можно добавить некоторое количество узлов в обозначенный контур (для более точного изменения формы некоторых его элементов, например для скругления каких-либо углов), или удалить лишние узлы (например, поставленные по ошибке) при помощи кнопок со значками ²Добавление узла² или ²Удаление узла².

- После построения контура, полностью удовлетворяющего требованиям задания, обязательно необходимо сохранить контур, как отдельный файл, воспользовавшись в меню ²Файл² функцией ²Сохранить как², чтобы при необходимости воспользоваться им снова.

На рис. 6 представлен в качестве примера элемент контура соплового блока. На этом же изображении можно посмотреть, как выглядит окно при работающей программе “Viz2”.

- Далее требуется провести дискретизацию построенного контура. Она выполняется с помощью кнопок со значками дискретизации (кольцевой области, прямоугольной области, произвольной области со ступенчатой или линейной аппроксимацией границ) – см. рис. 7. Здесь требуется введение числа элементов по координатам Х, и по У.

Примечание: выбор числа элементов должен исходить из обеспечения двух противоречивых требований – с одной стороны требуемой точности решения, а с другой – ограничения по быстродействию и памяти вычислительной машины.

Рис. 6. Пример ввода чертежа (контура) фрагмента соплового блока.

Рис. 7. Пример дискретизации исходной геометрии.

После дискретизации можно воспользоваться следующими вспомогательными возможностями нажатием соответствующих кнопок:

- Информация о параметрах сетки. Параметры выдаются на правом поле экрана.

- При необходимости можно показать номера узлов, номера элементов; показать узлы, центры элементов; показать только контур области; наложить контур на созданную сетку для проверки точности полученной дискретной геометрической модели объекта; увеличить, или уменьшить изображение геометрии, либо сделать его в размер окна.

- Необходимым этапом построения геометрической модели является задание границ, на которых будут формироваться граничные условия. Для этого требуется наложить с помощью кнопки "Ввод границ" необходимое количество границ, требующееся для рассмотрения моделируемых процессов. Границы можно просмотреть при помощи специальной кнопки со значком “Просмотр границ” и перенумеровать нажатием правой клавиши мыши в информационном окне на соответствующей линии границы.

- При необходимости определяются, точки, в которых должны быть построены графики изменения параметров во времени. Ввод элементов и узлов для построения графиков изменения параметров в зонах, интересующих исследователя, осуществляется командой "Ввод точек для графиков".

- Можно ввести необходимое количество подобластей (различающихся типом материала) в исследуемой области при помощи соответствующего значка “Ввод областей”. Ошибочно введённые подобласти можно удалить при помощи значка “удаление областей”, и заменить их новыми. Для просмотра подобластей можно воспользоваться соответствующим значком, при этом они изображаются разными цветами.

- После этого можно выполнить сглаживание (оптимизацию) сетки (соответствующий значок, при котором открываются функциональные значки “Указание группы”, и “Указание по одному”, позволяющие работать с каждым элементом отдельно ).

- Если в исследуемой области должны быть внутренние полости, то их можно создать с помощью значка “удаление элементов” поэлементно, или целыми областями.

Примечание: Если удаление элементов будет произведено после задания границ и точек графиков, то их необходимо задать вновь!

- После создания сетки целесообразно осуществить ее проверку на вырожденность элементов при помощи соответствующего значка “Проверка сетки”. Если сетка была построена с ошибками, программа укажет на них.

- Сохранить построенную конструкцию, дискретизированную соответствующим образом, как файл с расширением “*.geo” – файл геометрии. Именно этот файл и будет использоваться при проведении дальнейшей работы с программой моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) "Term2”.

Введенная геометрия впоследствии может быть отредактирована. Возможны различные операции редактирования построенной геометрической модели: удаление и добавление элементов, перемещение узлов, оптимизация формы и нумерации узлов и т.д.

Структура файла геометрии (*. geo).

В результате работы с программным модулем Viz2 формируется файл геометрии. Данный файл можно, в случае необходимости, изменить вручную. Содержание и порядок расположения необходимой для расчетов информации нетрудно усвоить, ознакомившись с типовым файлом:

[Geo2]

[KNOTS]

84 - число узлов

0.00000 0.00000 0.00000 1

0.00000 0.03333 0.00000 2

0.00000 0.06667 0.00000 3

……………………………………………….

1.00000 0.06667 0.00000 83

1.00000 0.10000 0.00000 84

[ELEMENTS]

60 - число элементов

4 1 2 6 5 1

4 2 3 7 6 2

4 3 4 8 7 3

…………………………………….

4 78 79 83 82 59

4 79 80 84 83 60

[KONTUR]

47 - число точек контура

1 2 3 4 8 12 16 20 24 28

32 36 40 44 48 52 56 60 64 68

72 76 80 84 83 82 81 77 73 69

65 61 57 53 49 45 41 37 33 29

25 21 17 13 9 5 1

[GRAN]

7 - число границ

4 - число точек границы 1

1 2 3 4

4 - число точек границы 2

1 2 3 4

4 - число точек границы 3

1 2 3 4

4 - число точек границы 4

1 2 3 4

4 - число точек границы 5

1 2 3 4

4 - число точек границы 6

1 2 3 4

4 - число точек границы 7

84 83 82 81

[POINTS]

0 - число узловых точек для графиков

0 - число элементов для графиков

[SOS]

0 2 4 0 1

0 3 5 1 2

0 0 6 2 3

1 5 7 0 4

2 6 8 4 5

……………………………..

4 Особенности расчета конструкций из композиционных материалов

Современные летательные аппараты в основном изго­товляются из металлических сплавов — алюминиевых, титановых, сталей и др. Несмотря на различие механических характеристик, эти материалы обладают одним общим свойством — они являются изотропными. В то же время среди природных и искусственных материалов встречаются такие, которые обладают различными свойствами в зависимости от направления в среде материала. К ним относятся, в частности, широко применявшиеся в 30-е и 40-е годы в авиастроении ткань, фанера и дельта-древесина. Такие материалы называются анизотропными. В последние годы интерес к применению анизотропных материалов в конструкциях летательных аппаратов значительно возрос, что связано с появле­нием нового класса композиционных материалов, обладающих исключительно высокими механическими характеристиками. Ком­позиционные материалы образованы из двух составляющих — тонких волокон, обеспечивающих высокую прочность и жесткость материала, и связующего, обеспечивающего монолитность мате­риала и совместную работу волокон. В настоящее время в компо­зиционных материалах применяются стеклянные, органические, углеродные и борные волокна с диаметром от 1- Ю-5 до 2- Ю-4 м, модулем упругости от 90 до 400 ГПа, пределом прочности от 2 до 3,5 ГПа и плотностью от 1450 до 2500 кг/м3. Напомним, что алю­миниевый сплав при плотности 2700 кг/м3 обладает модулем упру­гости 71 ГПа и пределом прочности порядка 0,6 ГПа, а конструк­ционная сталь имеет соответственно 7850 кг/м3, 210 ГПа и предел прочности порядка 1,5 ГПа. В качестве связующих материалов применяются полимерные смолы и металлические (в основном алюминиевые) сплавы. Из волокон и жидкого связующего, как правило, образуется лента, которая посредством высокопроизво­дительных и автоматизированных технологических процессов укладывается слоями в различных направлениях. После отверж­дения связующего получается анизотропный слоистый компози­ционный материал, удельная прочность которого (отношение предела прочности и плотности), как правило, в несколько раз больше соответствующей характеристики металлических сплавов. Из таких материалов в настоящее время изготавливаются баки, баллоны давления, корпусы двигателей, панели обшивки крыла и оперения, носовые обтекатели, лопасти винтов и многие другие элементы летательного аппарата.

Расчет композиционных элементов осуществляется на основе изложенных выше теорий и методов строительной механики с по­мощью соотношений, учитывающих специфические особенности армированных материалов. Ввиду того, что уравнения равнове­сия и геометрические соотношения от свойств материала не зависят, эти особенности должны учитываться физиче­скими соотношениями, связывающими напряжения и деформа­ции.

Для вывода этих соотношений рассмотрим элемент слоистого материала, находящийся в условиях плоского напряженного состояния и показанный на рис. 12.1. Предположим, что материал образован из к слоев с толщинами ht (i — 1, 2, 3, k), причем в каждом слое можно выделить некоторое определяющее направ­ление (например, направление укладки волокон), которое состав­ляет с осью х угол щ. Необходимо определить модули упругости такого материала.

Предварительно рассмотрим слой в координатах (х{, х\ — см. рис. 12.1, 12.2). Такой слой является ортогонально-анизотропным или сокращенно—ортотропным, поскольку он обладает двумя вза­имно ортогональными осями симметрии (ортотропии) х[ и х(. Харак­терной особенностью ортотропного материала является то, что нормальные напряжения, действующие вдоль осей ортотро­пии, не вызывают деформации сдвига, а касательные напряже­ния — удлинений. При этом обобщенный закон Гука имеет вид

Здесь Е[, Е{, G}2 — модули упругости в направлении осей х[, х\ и модуль сдвига слоя с номером i\ \i[2 и — коэффициенты Пуас­сона, характеризующие сокращение материала соответственно