Теория метода

Пусть два шара подвешены на нитях длины l и находятся в положении равновесия. Если один шар отклонить на угол a и отпустить, то к моменту соприкосновения со вторым шаром он приобретает скорость v. Эту скорость можно найти из закона сохранения механической энергии. Отклоненный шар (рис. 2) обладает потенциальной энергией

. (12)

Рис. 2

В начале соударения его кинетическая энергия будет

. (13)

Если не учитывать трение в местах подвеса и сопротивление воздуха то, приравняв (12) и (13), получим

. (14)

Аналогичным образом можно найти скорости u₁ и u₂ обоих шаров после удара:

, , (15)

где b₁ и b₂ – углы, на которые отклоняются первый и второй шары после удара. При движении одного шара его импульс до удара

. (16)

Полный импульс шаров после удара

. (17)

По закону сохранения импульса должно выполняться

. (18)

Для одинаковых шаров, как следует из соотношений (9) и (10), u₁ = v₂, u₂ = v₁, и

. (19)

При абсолютно неупругом столкновении шаров b₁ = b₂ = b (шары движутся вместе, как одно тело), для одинаковых шаров получаем:

. (20)

Коэффициент восстановления относительной скорости (11) при подстановке (14) и (15) равен

, (21)

где b₁ надо брать со знаком минус, если первый шар отклонился в противоположную сторону.

При столкновении одинаковых шаров b₁ = 0, и

. (22)

Найдём среднюю силу удара. По второму закону Ньютона

, (23)

где t – время соударения, Dv – изменение скорости одного из шаров за время соударения. Для второго шара начальная скорость v₂ = 0, поэтому Dv = u₂, и

. (24)

Расчёты для времени t соударения одинаковых шаров дают следующее выражение:

. (25)

где R – радиус шара, n – коэффициент Пуассона, c – скорость продольных звуковых волн, v₁ – скорость в момент начала соударения, вычисляемая по (14). Из (25) вычисляется скорость продольных звуковых волн:

. (26)

Для стальных шаров коэффициент Пуассона n = 0,32. Тогда

. (27)