Структуры «доминирования-безразличия» и упорядоченные множества.

Отношения доминирования и безразличия.При изучении отношения преимущества между реальными объектами можно выделить два аспекта: один отображает преимущества (перевес, доминирование) одного объекта над другим, а другой безразличие (индифферентность, толерантность) объектов. Таким образом, определяются два отношения между объектами: доминирование и безразличие.

Из всех разнообразных ситуаций, в которых рассматриваются отношения доминирования и безразличия, в этих отношениях существуют общие свойства. Обозначив отношение доминирования - ( означает что а доминирует над b), а безразличие - ( означает, что а и b безразличны). Получаем следующие свойства:

- Отношение доминирования является асимметричным: не может быть такого, чтобы а и b одновременно доминировали. .

- Отношение безразличия является симметрическим. .

- Ни одна пара объектов не принадлежит и к отношению доминирования, и к отношению безразличия.

- Считается, что каждый объект безразличен к себе самому (то есть отношение безразличия является рефлексивным). Это условие имеет больше характер соглашения, потому что обычно объект не сравнивается сам с собой, но принятие данного условия полностью согласуется со смыслом, который обычно вкладывают в понятие безразличия.

Пара отношений( , ) с множеством носителем А, определяет на этом множестве структуру «доминирования-безразличия» где - отношение доминирования, а - отношение безразличия, если асимметрично, симметрично и рефлексивно (то есть отношение толерантности), .

Важным свойством структуры «доминирования-безразличия», когда любые два объекта из множества, которые рассматриваются или безразличны, или один из них доминирует над другим; такая структура «доминирования-безразличия» называется линейной.

Множество пар сравнимых объектов создает отношение сравнимости, а множество несравнимых пар объектов - отношение несравнимости. Структура «доминирования-безразличия» на А будет линейной только тогда когда любая пара объектов сравнимая, то есть когда отношение сравнимости является А´А.

Для любых двух элементов а и b произвольно взятых из множества, на которое задана структура «доминирования-безразличия», обязательно выполняется хотя бы одно из условий: а доминирует над b; b доминирует над а; а и b безразличны; а и b несравнимы. В случае линейной структуры обязательно выполняется одно из первых трех условий.

Структура «доминирования-безразличия может быть предоставлена в виде матрицы: в ячейке, которая соответствует ряду элемента а и столбцу элемента b, ставиться 1, если а доминирует над b; 0, если b доминирует над а; ½, если а и b безразличны, то есть матрица «доминирования-безразличия» строиться по тем же принципам, что и таблицы спортивных турниров. Структура «доминирования-безразличия» будет линейной тогда, когда в матрице не будет пустых ячеек. Однако такое представление является избыточным, хотя и наглядным, потому что структура «доминирования-безразличия» может быть задана с помощью одного отношения. Если ( , ) – структура «доминирования-безразличия» множества А. . Находим симметричную ( ) и асимметричную ( ) части отношения .

Таким образом произвольная структура «доминирования-безразличия» может быть задана одним бинарным отношением – объединением отношений доминирования и безразличия. Такое объединение отношений доминирования и безразличия называется отношением преимущества.

Возникает естественный вопрос: какие свойства имеет отношение преимущества? (если - произвольное отношение множества А, то какие необходимые и достаточные условия того, чтобы для структуры «доминирования-безразличия» ( , ) с носителем А выполнялось ?)

должно быть рефлексивным и это единственное условие которое необходимо накладывать на отношение .

Таким образом любое отношение можно рассматривать как отношение преимущества; сначала необходимо его только преобразовать в рефлексивное, добавив отсутствующие петли и взять как доминирование асимметрическую составляющую, а безразличие – симметричная составляющая полученного отношения. При этом линейность этого отношения равносильна линейности структуры «доминирования-безразличия», которая ему соответствует.

Транзитивность структуры «доминирования-безразличия». Для произвольной пары объектов, которые принадлежат к отношению доминирования – замена одного из объектов безразличным к нему сохраняет доминирование, то есть

Эти условия отображают транзитивность отношения относительно отношения . Структура «доминирования-безразличия» называется транзитивной, если отношение доминирования и безразличия транзитивны и отношение доминирования транзитивно относительно отношения безразличия.

Если и транзитивны и транзитивно относительно , то будет транзитивным отношением; кроме этого отношение рефлексивное как произвольное отношение преимущества, следовательно является отношением квазипорядка. Соответствие является взаимно однозначным соответствием между транзитивными структурами «доминирование-безразличие» на множестве А и отношениями квазипорядка А; определение транзитивной структуры «доминирования-безразличия» равносильно определению лишь отношения квазипорядка. Если кроме этого отношение безразличия тождественно (то есть каждый объект безразличен сам к себе), то соответствующее отношение квазипорядка является отношением порядка.

Система преимуществ ЛПР – это совокупность формальных и неформальных, статических и динамических правил и условий, которые позволяют ему остановить свой выбор на одной или нескольких альтернативах в той или иной конкретной ситуации принятия решений.

Таким образом система преимуществ имеет как статическую составляющую, которая остается постоянной независимо от условий внешней среды и отображает постоянные, глубинные, в определенном смысле объективные правила, с помощью которых отбрасываются из рассмотрения неперспективные альтернативы, и динамические, которые отображают переменьчивость преимуществ в зависимости от условий внешней среды, внутреннею противоречивость и нечеткость представлений ЛПР про лучшие альтернативы, его субъективность.

При сравнении альтернатив между собой может возникнуть ситуация двух типов:

- ЛПР решает, что альтернатива x_i преобладает (доминирует, лучше)x_j;

- ЛПР не может различить по качеству альтернативы x_i и x_j (альтернативы равнозначные, подобные, безразличные).

Таким образом статическая составляющая системы преимуществ ЛПР может моделироваться с помощью структуры «доминирование-безразличие».

Бинарные отношения и оптимальные альтернативы. Основным заданием ЛПР в процессе принятия решений является проблема выделения одной или нескольких лучших альтернатив из существующих.

- множество максимумов множества А по отношению к Р, - мажорант, - минимумов; - минорант.

Для максимумов, минимумов, мажорант, минорант множества А по отношению к Р справедливы соотношения

Для максимумов, минимумов, мажорант, минорант множества А по отношению к Р выполняются соотношения , где - двойственное к Р отношения.