Понятие функция выбора.

Полная функция выбора.Функцией выбора С называется отображение, которое ставит в соответствие каждый XÍA подмножества YÍX альтернатив, которые выбираются ЛПР в этих условиях, . Функция выбора заданная таким образом, должна удовлетворять условию

Это условие соответствует выбору «среди лучших» альтернатив. Выбор в конкретной ситуации лучших альтернатив из подмножества Z множества Х, для которого определенна функция выбора, даст результатом подмножество лучших в Х альтернатив , которые одновременно будут принадлежать Z. В случае когда - формально считается, что возникла ситуация отказа от выбора.

Каждому бинарному отношению R с носителем А можно поставить в соответствие функцию выбора. На А существует две функции выбора:

(вставить рисунок 2.14)

Если R_x – сужение R на XÍA, то складывается из мажорант , - с максимумов .

Для функции выбора и справедливы соотношения , где - отношение двойственное к R.

Справедливость этого утверждения является следствием того, что и эквивалентностью выполнения операций нахождения сужения двойственного отношения или двойственного отношения к сужению,

Поэтому обычно рассматривается одна функция выбора и считается, что эта функция порождена отношением R. Функции выбора, порожденные бинарными отношениями, называются нормальными.

В большинстве случаев выполняется условие выбора приемлемых альтернатив – если предъявление создает одна альтернатива, то она выбирается, то есть

Аппарат функций выбора оказывается удобным для формирования содержательных свойств, при выполнении которых выбор можно считать «умным», «непротиворечивым», «рациональным» и исследования и формализации различных механизмов и принципов выбора.

Неполные функции выбора. Обычным явлением в реальных задачах выбора является то ,что одни альтернативы могут исключать существование в предъявлении Х других, или наоборот, при появлении некоторых альтернатив существуют такие , которые их всегда сопровождают. В следствии этого предъявленными могут быть не все подмножества А, то есть функция выбора определенная на некотором подмножестве , которая называется множеством предъявлений. Частичной функцией выбора называется функция , которая .Если , С будет везде определенна, то есть полной функцией выбора. Частичная функция выбора может быть продолжена до полной, при этом такое продление неоднозначное. С другой стороны, сужение функций – продолжений на область определения В дают в результате однозначно первоначальную неполную функцию выбора.

Выбор, при котором для некоторых альтернатив предъявление неизвестно, приняты они или отклонены, называется неполным.

Неполный выбор описывается с помощью предъявлений , которые принадлежат множеству , и парой функций вроде , таких что

Множество создают принятые в качестве решений альтернативы – результат выбора, – не принятые (отклоненные). Множество – множество рассмотренных альтернатив. Таким образом, схема неполного выбора является тройка . Выбор в предъявлении Х будет полностью определен, если . Частичная схема выбора соответствует случаю , когда выбор полностью определен, то есть , . До определением неполной функции выбора будем считать произвольную, всюду определенную функцию С, которая удовлетворяет условию

До определением частичной функции выбора, определенной на множестве , будет произвольная функция выбора с областью определения сужение которой на множество В будет функцией выбора, тождественной с первоначальной частичной функцией выбора.

Логическая форма функции выбора. Представим функцию выбора в логической форме. . Поставим в соответствие каждому логическую смену . Установим взаимно однозначное соответствие между 2ⁿ подмножествами множества А и 2ⁿ векторами длинной n согласно соотношению

Таким образом множеству А соответствует вектор а пустому множеству .

Пусть на А задана некоторая функция выбора С. Поставим в соответствие функции С вектор функций причем

Поскольку С Х, то это эквивалентное возможности представления каждой из функций в виде

получаем путем подстановки в значение

Таким образом установим соответствие между функцией выбора и множеством логических высказываний в форме

где i=2, n-1,

Логической формой LF(C) функции выбора С называется вектор ) функции Буля, каждая из которых согласно с предыдущим зависит от n-1 переменных, то есть сокращенно LF(C)= .

Рассмотрим множество М всех функций выбора с универсальным множеством альтернатив А. Общее количество разнообразных функций выбора, которые можно построить на универсальном множестве (включая отказы от выбора) составляете

Это потому что число функций Буля от (n-1) аргументов составляет (число (n-1)-мерных наборов от 0 и 1 составляет , каждому набору соответствует одно из двух значений функции – 0 или 1), а на каждом из n мест в логической форме может находиться произвольная функция от (n-1) переменных.

Условия рационального выбора. Функции выбора классифицируются согласно выполнению определенных условий или требований, которые выдвигаются в процессе их исследования. Такими условиями являются: наследование, независимость от отброшенных альтернатив, согласованность, независимость выбора от пути (квазисуммарности), суммарности, мультипликативности, монотонности.

Условие наследования. Если осуществляется выбор из произвольного множества А и выбор из какого-то его подмножества ВÍA, то все альтернативы, которые были выбраны из А и одновременно принадлежат В, будут выбранными также в В, то есть условие выполняется если справедливо утверждение

Условие независимости от отброшенных альтернатив. Если выбор совершается из подмножества В произвольного множества А, причем в В входят все альтернативы, которые являются результатом выбора из А, то выбор из В будет тождествен выбору из А, то есть условие выполняется если справедливо утверждение

Условие согласованности. Если альтернативы выбираются с каждого подмножества ÍA, А то они будут выбраны из их объединения, то есть условие выполняется если справедливо утверждение

Условие независимости выбора от пути (квазисуммарности). Выбор из объединения множеств предъявлений должен быть тождественен выбору из объединения выборов с каждого множества предъявлений отдельно, то есть

Условие суммарности. Выбор из объединения множества тождественен объединению выборов из каждого множества отдельно, то есть

Условие мультипликативности. Выбор из пересечения множеств тождественен пересечению выборов из каждого множества отдельно, то есть

Условие монотонности. Выбор из более общего множества является не меньшим, чем выбор из подмножества этого множества или

.