Дифференциальное уравнение движения реальной вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса).

dV=dxdydz

Рассмотрим движение по оси X. Действуют силы: гидростатического давления P, тяжести, инерции, вязкости.

Реальная жидкость при движении испытывает внутреннее трение, т.е. в ее слоях возникают касательные напряжения .

Поэтому уравнение Эйлера движения идеальной жидкости для оси X должно быть дополнено силой, расходуемой на преодоление сил сопротивления трения.

Сила трения, действующая на нижнюю плоскость параллелепипеда dxdy, в одномерном движении вдоль оси x равна τdxdy, а на верхнюю, на расстоянии dz будет равна .

Здесь выражает изменение касательного напряжения в любой точке на нижней плоскости параллелепипеда, а - такие изменения вдоль ребра d_z до верхней плоскости.

Проекция вектора действующей силы вдоль оси x :

∑X_i: τdxdy– = .

Подставив в это выражение значение касательного напряжения, распространяемого по оси z, получим изменение проекции вектора силы вдоль оси X:

=

Выражение проекции вектора рассеянной силы вдоль других направлений аналогично. Тогда уравнение для трехмерного распространения напряжения в направлении оси X примет вид:

- равнодействующая сил трения по оси X, где W_x- оператор Лапласса.

Если dV будет перемещаться в направлениях Y и Z, то аналогичным образом получаем для сил трения (сил вязкости) следующую систему:

X: μ W_xdxdydz

Y: μ W_ydxdydz→составляющие сил трения, вводимые в уравнения движения идеальной жидкости

Z: μ W_zdxdydz

Дифференциальные уравнения движения реальной вязкой жидкости Навье-Стокса :

X: ( +μ W_x )dxdydz = dxdydz

Y: ( +μ W_y )dxdydz = dxdydz

Z: ( +μ W_z - ρg)dxdydz = dxdydz

Где , , - субстанциональные производные W_x, W_y, W_z по времени.

Уравнения Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности потока составляют системы дифференциальных уравнений, позволяющих полностью описать движение вязкой жидкости.