Аналогия между движением заряженных частиц в электростатическом поле и распространением световых лучей в прозрачной среде

Анализ движения заряженных частиц в электростатических полях не представляет серьезных математических трудностей только для полей простейшей конфигурации (плоский конден­сатор, поле точечного заряда, поле заряженного цилиндрического проводника). Однако во всех практически интересных случаях электрические поля оказываются настолько сложными, что даже выражение для потенциала не удается представить в конечной форме с помощью элементарных функций. В результате интегри­рование уравнений движения чрезвычайно усложняется и может быть проведено только численным путем.

К счастью, существует некий общий метод подхода к та­ким задачам, который для широкого класса систем позволяет определить форму траектории. Метод основан на далеко идущей аналогии между движением заряженной частицы и распростра­нением световых лучей в прозрачной преломляющей среде. Как известно, в рамках геометрической оптики распространение светового луча в любой неоднородной среде может быть опи­сано на основе закона преломления света. Для этого необ­ходимо, разумеется, знать значения коэффициента преломления вдоль всего пути светового луча; важны, впрочем, лишь отно­сительные значения коэффициента преломления. Поэтому в оптике условно принимают, что коэффициент преломления ва­куума равен единице.

В существовании указанной выше аналогии проще всего убедиться из анализа одного простого примера. Следует под­черкнуть, что приведенное ниже рассмотрение вопроса огра­ничено пока случаем чисто электростатического поля. Точно так же пока не рассматривается возможное и, в принципе, очень простое обобщение на случай движения частицы с релятивистской скоростью.

Предположим, что заряженная частица движется в простран­стве, в котором имеется скачок потенциала на некоторой гра­нице (рис. 2.1).

Рис 2.1. Прохождение заряженной части­цы через границу двух эквипотенциаль­ных областей. На границе раздела части­ца ускорилась. Тангенциальная составля­ющая скорости осталась неизменной.

Такой скачок потенциала, конечно, нельзя осуществить технически, так как ему соответствует бесконечно большая величина напряженности поля. Наилучшим прибли­жением будет система, состоящая из двух близко располо­женных чрезвычайно тонких металлических фольг, прозрачных для рассматриваемых частиц и заряженных до соответствую­щих потенциалов. Проходя через границу раздела, заряженная частица испытывает действие силы, направленной по нормали к этой границе. Поэтому нормальная составляющая скорости изменяется, а тангенциальная составляющая остается неизмен­ной. Последнее условие дает

(2.1)

где v₁ и v₂ — значения ско­рости частицы до и после прохождения через поверх­ность раздела, а углы и могут быть по аналогии с оп­тикой названы углом падения и углом преломления. От­сюда

(2.2)

Если, как обычно, считать, что величина скорости части­цы определяется значением потенциала в данной точке, то равенство (2.2) может быть записано в следующем виде:

(2.3)

Написанное равенство полностью совпадает с обычной фор­мулировкой закона преломления в оптике. Роль коэффициен­та преломления играет квадратный корень из значения потен­циала в данной точке.

Полученный результат легко обобщить наглядным, хотя и не строгим способом на случай произвольного электростатиче­ского поля. Электростатическое поле всегда может быть изо­бражено с помощью системы эквипотенциальных поверхностей (рис. 2.2).

Рис. 2.2, Преломление электронной траектории на эквипотенциальных поверх­ностях. Частица движется в ускоряющем электрическом поле.

Если эти поверхности проведены достаточно близко друг к другу, то при рассмотрении движения частицы можно считать, что потенциал в пространстве между двумя соседними эквипотенциалями постоянен и все изменение потенциала про­исходит маленькими скачками на самих эквипотенциальных поверхностях. В таком случае траектория частицы аппроксимиру­ется ломаной линией, причем изменение направления траекто­рии на каждом изломе определяется законом преломления. В пределе ломаная линия превращается в плавную кривую, которая описывает траекторию частицы в данном поле. Как следует из метода построения, эта траектория совпадает по форме со световым лучом, распространяющимся в среде с пе­ременным коэффициентом преломления, значения которого в различных точках пропорциональны квадратным корням из по­тенциала.

Существование рассмотренной аналогии позволяет исполь­зовать понятия и методы обычной геометрической оптики в совершенно новой области и позволяет конструировать электронные приборы по аналогии с соответствующими оптиче­скими инструментами. Самым ярким примером плодотворности такого подхода явилось создание электронного микроскопа - прибора, позволяющего получать изображения объектов в элект­ронных лучах с разрешающей силой, на несколько порядков превышающей разрешающую силу обычного микроскопа. Современная осциллографическая трубка, в которой электрон­ный пучок фокусируется в пятнышко диаметром менее де­сятой доли миллиметра, также построена на основе дости­жений новой дисциплины - геометрической оптики электрон­ных лучей.

Несмотря на свое происхождение, геометрическая электрон­ная оптика не представляет собой простого перевода обычной световой оптики на язык электронных траекторий. Благодаря специфическим особенностям электрического поля, возможности электронной оптики во многих отношениях оказываются гораздо более широкими, чем возможности обычной оптики, в которой используется преломление световых лучей на границах прозрачных тел с коэффициентами преломления, лежащими в узких пределах. Напомним, что для обычных сортов оптических стекол коэффициент преломления составляет примерно 1,6 - 1,8 и даже для алмаза достигает всего лишь 2,5. В противопо­ложность этому в электронной оптике коэффициент преломления вдоль траектории заряженной частицы может меняться в любых пределах. В электронно-оптических приборах можно изменять оптические свойства системы, управляющей распростране­нием электронных лучей, простым изменением потенциала на электродах. В этом отношении аналогия со световой оп­тикой отсутствует: оптические свойства стеклянных линз неиз­менны.

С другой стороны, следует указать на некоторые ограни­чения, которые встречаются при переходе от обычной оптики к электронной. Во-первых, в электронной оптике неосуществимы скачкообразные изменения коэффициента преломления, которые являются характерными для обычных линз. Это обстоятельство обусловлено тем, что потенциал является непрерывной функцией координат. В электронной оптике отсутствует, таким образом, необходимая свобода в сопряжении преломляющих поверхно­стей. Во-вторых, почти во всех важных случаях потенциал в электронно-оптической системе должен удовлетворять уравне­нию Лапласа (плотность объемного заряда, как правило, прене­брежимо мала). В результате на изменение коэффициента пре­ломления накладываются дополнительные ограничения, которые отсутствуют в обычной оптике. Именно эти ограничения являются основной причиной того, что некоторые виды абер­раций оказываются столь трудно устранимыми в электронно-оптических приборах.

Прежде чем переходить к анализу конкретных видов элек­тронно-оптических систем, обратим внимание на одно инте­ресное следствие общего характера, вытекающее из существо­вания аналогии между движением заряженных частиц и распро­странением лучей света. Согласно сказанному выше траектория частицы, движущейся в электростатическом поле, полностью определяется относительными значениями потенциалов в раз­личных точках пространства (если значения потенциала отсчи­тываются от той точки пространства, из которой частица на­чинает двигаться с нулевой скоростью). При этом на форму траектории не оказывают никакого влияния величина заряда и масса частицы, так как относительные значения коэффици­ентов преломления не зависят от этих величин. Если две частицы, различающиеся по величине массы и заряда (при одинаковом знаке заряда), начинают свое движение с нулевой начальной скоростью из некоторой точки в электрическом поле, то их траектории будут идентичны (хотя они и будут пройдены частицами за разные промежутки времени). В этом заключа­ется так называемый закон подобия для движения заряженных частиц в электростатическом поле.

§ 3. Центрированные электронно-оптические системы. Основное уравнение электронной оптики для аксиально-симметричных полей

Важнейшим понятием геометрической оптики является цент­рированная оптическая система - совокупность сферических пре­ломляющих поверхностей, центры которых лежат на одной пря­мой, на главной оптической оси системы. В электронной оптике аналогом такой системы служит электростатическое поле, обла­дающее аксиальной симметрией. Аксиально-симметричным полем называется поле, потенциал которого в цилиндрической системе координат является функцией только от z и от r и не зависит от азимутального угла . Аксиально-симметричное поле может быть создано с помощью системы электродов, обладающих симметрией вращения и расположенных вдоль од­ной общей оси симметрии, играющей роль главной оптической оси. Коаксиальные цилиндры, различным образом сопряженные центрированные диафрагмы с круглыми отверстиями, центриро­ванные электроды, имеющие форму кольца, широко использу­ются в электронной оптике цилиндрических пучков (рис. 3.1). Каждая эквипотенциальная поверхность в такой системе вблизи оси будет иметь сферическую форму. Параксиальный пучок электронов, т. е. пучок, движущийся на небольшом расстоянии от оси и под малыми углами к ней, будет вести себя в аксиально-симметричном поле подобно пучку световых лучей в сложной оптической линзе, склеенной из бесконечно большого числа тонких менисков с постепенно изменяющимися коэф­фициентами преломления.

Рис. 3.1. Элементы электронно-оптических систем и расположение эквипотенальных поверхностей вблизи оптической оси системы (схематически).

Прежде чем рассматривать общий случай движения электро­нов в аксиальных полях, разберем один частный, но практи­чески важный пример. Предположим, что пучок электронов проходит через зазор между двумя коаксиальными цилиндрами (рис. 3.2), потенциалы которых равны соответственно U₁ и U₂; пусть U₁ < U₂. Для простоты допустим, что электроны под­ходят к зазору в виде пучка, параллельного оптической оси. Выделим одну из траекторий пучка. Силу К, действующую на электрон, в каждой точке его пути можно разложить на две составляющие: параллельную оси и перпендикулярную к оси. Как видно из рис. 3.2, на участке траектории до середины зазора радиальная составляющая силы направлена к оси. Под действием этой силы траектория электрона будет постепенно приближаться к оси. После прохождения через середину зазора электрон окажется под действием радиальной силы, стремящейся отклонить его от оси.

Рис. 3.2. Иммерсионная линза, образованная двумя цилиндрами. Электронные траектории, входящие в линзу параллельно оптической оси пересекают ось, после прохождения линзы в главных фокусах F₁ и F₂.

Нетрудно убедиться, однако, что фокусирующее действие радиальной составляющей силы на первой половине пути не может быть скомпенсировано ее дефокусирующим действием на протяжении второй половины пути. Это отсутствие компен­сации обусловлено тем, что первую часть пути электрон движется с меньшей скоростью и, следовательно, дольше находится под действием силы, прижимающей его к оси. В результате электрон­ная траектория пересекает ось в некоторой точке F₂, располо­женной справа от зазора. Эта точка является главным фокусом линзы, образованной двумя цилиндрами. Общая теория, основы которой будут изложены ниже, показывает, что положение главного фокуса не зависит от того, на каком расстоянии от оси внутри левого цилиндра проходит электронная траектория. Предполагается только, что это расстояние достаточно мало по сравнению с диаметром цилиндра.

Если рассмотреть пучок электронов, движущийся парал­лельно оси, но входящий в линзу справа налево, т. е. со сто­роны цилиндра, находящегося под более высоким потенциалом, то и в этом случае пучок соберется на оси в точку F₁ распо­ложенную перед зазором. Различие в значениях потенциала с обеих сторон линзы, т. е. различие в коэффициентах преломления, приведет к тому, что точки F₁ и F₂ окажутся на неодинако­вом расстоянии от середины зазора. Различными будут и соответ­ствующим образом определенные главные фокусные расстояния. Полученный результат является типичным для многих элект­ронно-оптических задач; в обычной оптике ему соответствует случай иммерсионной линзы.

Чем больше относительное приращение энергии, испытывае­мое электроном при переходе через зазор из первого во второй цилиндр, т. е. чем больше величина (U₂-U₁)/U₁, тем сильнее фокусирующее действие линзы, тем ближе к середине зазора располагаются главные фокусы. В качестве иллюстрации на рис. 3.3 изображена полученная экспериментально кривая, по­казывающая изменение фокусирующего действия линзы в зави­симости от отношения U₂/U₁. По оси ординат отложены не главные фокусные расстояния f₁ и f₂, а безразмерные отноше­ния f₁/D и f₂/D где D - диаметр цилиндров.

Рис. 3.3. Зависимость фокусного расстояния иммерсионной линзы, образован­ной двумя цилиндрами одинакового диаметра, от U₂/U₁.

Установим теперь несколько общих формул и теорем, от­носящихся к электронной оптике аксиально-симметричных по­лей. Выведем так называемое основное уравнение электронной оптики - уравнение электронной траектории в параксиальном приближении. Сначала рассмотрим вспомогательные соотно­шения, важные для дальнейшего изучения.

Пусть ось z направлена по оптической оси системы. Потен­циал является функцией только от r и от z, и, в пределах параксиальной области (при достаточно малой величине r), значения потенциала и его производных по z в любой точке могут быть заменены через соответствующие значения тех же функций в эквивалентных точках на самой оси. Значения потенциала и его производных на оси будут обозначаться для краткости через U, U^I и U^II. Таким образом,

(3.1.)

В условиях параксиальности электронная траектория должна проходить под малым наклоном к оси, поэтому продольная компонента скорости электрона v_z может быть заменена на его полную скорость v, которая, в свою очередь, определяется зна­чением потенциала в данной точке:

(3.2)

Такая замена позволит при выводе уравнения траектории пе­реходить от дифференцирования по времени к дифференциро­ванию по координате.

Для дальнейшего необходимо еще установить связь между радиальной слагающей электрического поля Е_r и величиной потенциала на оси. В рамках параксиального приближения это проще всего сделать, применяя теорему Гаусса к цилиндри­ческому объему высотой dz и радиусом r (рис. 3.4). Поток вектора Е через полную поверхность цилиндра равен нулю, следовательно,

(3.3)

Группируя члены и делая очевидные сокращения, получим

или, так как

то

(3.5)

Рис. 3.4. Применение теоремы Гаусса.

Последнее равенство показы­вает, что радиальная состав­ляющая электрического поля, а следовательно, и сила, воз­вращающая электрон к оси, линейно нарастает с увеличе­нием расстояния от оси. Это обстоятельство, по существу, уже указывает на возможность фокусировки электронных пучков в аксиально-симметричных полях. Среди веера траекторий, вы­ходящих из электронного источника, расположенного на оси, сильно расходящиеся траектории будут изогнуты сильнее, так как движущиеся по ним электроны окажутся в более сильном радиальном поле. В результате расходящийся пучок траекторий соберется вновь в одной точке. Разумеется, в данном случае предполагается, что радиальная сила направлена к оси, т. е. дей­ствует на электрон фокусирующим, а не дефокусирующим об­разом. Иными словами, предполагается, что вдоль рассматри­ваемого участка оси U" > 0.

Переходя к выводу уравнения траектории, напишем урав­нение движения для радиальной составляющей силы:

(3.6.)

Здесь вместо q написано е, так как вывод делается примени­тельно к электронам. Член, отвечающий центробежной силе , опущен, так как предполагается, что начальное кручение электрона около оси отсутствует, а в процессе движения, в силу аксиальной симметрии поля и, следовательно, отсут­ствия азимутальной компоненты силы, составляющая скорости также не появится. Рассмотрение общего случая с отличной от нуля начальной компонентой скорости ничего интерес­ного не дает.

Преобразуем левую часть уравнения (3.6), пользуясь ра­венством (3.2) и заменяя полную скорость через значение по­тенциала на оси; тогда

(3.7)

Производя в правой части замену Е_r с помощью выражения (3.5) и выполняя очевидные сокращения, получим

(3.8)

Дифференцируя произведение и перенося все члены в левую часть, получим уравнение траектории в следующем оконча­тельном виде:

(3.9.)

Это - дифференциальное уравнение второго порядка с перемен­ными коэффициентами; если значения потенциала вдоль оси за­даны, т. е. заданы функции U, U^I и U^II, то общий интеграл уравнения даст функцию r(z), которая при задании начальных условий определит траекторию электрона в рассматриваемом поле. Отсутствие в уравнении величин е и m и однородность уравнения относительно потенциала и координат наглядно свидетельствуют о существовании закона подобия, сформули­рованного выше для общего случая.

Как правило, интегрирование дифференциального уравнения с переменными коэффициентами связано с большими трудно­стями, поэтому важно установить возможно большее число следствий общего характера, которые можно сделать без непосредственного интегрирования уравнения.