Фокусировка в аксиально-симметричном поле. Уравнение Гельмгольца — Лагранжа. Тонкая линза

Рассмотрим наиболее существенные следствия уравнения (3.9).

Общий интеграл дифференциального уравнения второго по­рядка может быть представлен в виде линейной суперпозиции двух линейно независимых частных решений:

(4.1)

где с₁ и с₂ - произвольные постоянные. В качестве частных решений можно выбрать функции r₁(z) и r₂(z), удовлетворяющие в плоскости z = а следующим простым начальным условиям (рис. 4.1):

(4-2)

Рис. 4.1. Два частных решения уравнения (3.9) - две электронные траекто­рии r₁(z) и r₂(z).

При таком выборе начальных условий, носящих, на первый взгляд, несколько искусственный характер, константы с₁ и с₂ имеют простой физический смысл, определяя характер траектории вблизи плоскости z = а. Постоянная с₁ дает тангенс угла наклона траектории к оптической оси в плоскости z = а, а по­стоянная с₂ определяет величину смещения электрона от оси в той же плоскости. Таким образом, фиксированному значению с₂ и набору всевозможных значений с₁ отвечает пучок траекторий, проходящий в плоскости z = а через точку r = с₂ с различными углами наклона.

Допустим теперь, что распределение потенциала вдоль оси таково, что функция r₁(z) вновь обращается в нуль в некоторой плоскости z = b. Тогда общее решение при z = b имеет вид

(4.3)

Нетрудно разъяснить физический смысл этого результата. Все траектории, вышедшие из точки r = с₂, лежащей в плоскости z = a, соберутся в плоскости z=b в точке r=c₂r₂(b). В част­ности, если с₂ = 0, что соответствует пучку электронов, выходя­щему из точки, лежащей на оптической оси, то в плоскости z=b этот пучок соберется также при r=0, т. е. сфокусируется на оси.

Рис. 4.2. Изменение углов раствора электронных пучков при переходе от объекта к изображению. tg = c₁, tg =c₁ (b). Угловое увеличение опреде­ляется множителем (b).

Итак, плоскость z=b можно считать плоскостью изобра­жения по отношению к плоскости z = а, которая в этом случае играет роль плоскости объекта. Этим утверждением доказывает­ся, что аксиально-симметричные поля пригодны для получения точечных изображений в пределах параксиальной области. Величина r₂(b) дает увеличение (или уменьшение) линейных раз­меров объекта при его электронно-оптическом изображении. Важно подчеркнуть, что увеличение одинаково для всех точек объекта, т. е. изображение оказывается геометрически подобным объекту.

Установим теперь связь между линейным и угловым уве­личением. Рассмотрим траекторию, проходящую в плоскости z = а через точку на оси (рис. 4.2). Наклон траектории к оси определяется величиной

(4.4)

В плоскости изображения наклон траектории изменится и будет равен

(4.5)

так как для данной траектории с₂ = 0. Величина (b), харак­теризующая изменение угла наклона траектории, может быть названа угловым увеличением. Понятие углового увеличения делается более наглядным, если заметить, что задание величины с₁ определяет в пространстве объектов раствор целого конуса лучей, выходящих из точки А, а величина раствор конуса лучей, сходящихся в точке В (см. рис. 4.2). Таким образом, угловое увеличение (b) характеризует изменение углов раствора пучков лучей при переходе от объекта к изо­бражению.

Для нахождения связи между линейным и угловым уве­личением напишем уравнение траектории в форме (3.8) для функ­ций r₁(z) и r₂(z). Умножим первое из равенств на r₂(z), а вто­рое — на r₁(z) и вычтем одно из другого. Члены, содержа­щие U", сократятся, и мы получим следующий результат:

(4.6)

Легко проверить, что это равенство может быть представлено также в виде

или

(4.7)

где С — константа. Полученное соотношение справедливо для любой пары решений дифференциального уравнения. В част­ности, для указанного выше конкретного выбора решений в плоскости z = а имеем

(4.8)

в плоскости z=b:

(4-9)

Отсюда мы и находим искомую связь между линейным и угловым увеличениями:

(4-10)

Обозначим через h_a и h_b поперечные размеры объекта и изображения и через и - углы растворов конусов лучей, выходящих из какой-либо точки объекта и сходящихся в сопряженной точке изображения. Тогда и уравнение (4.10) может быть представлено в следующей более симметричной форме:

(4.11)

Равенство (4.11) соответствует известному из обычной геометри­ческой оптики уравнению Лагранжа - Гельмгольца. Теорема Лагранжа - Гельмгольца утверждает, что угловое увеличение обратно пропорционально поперечному увеличению, и, по су­ществу, является выражением закона сохранения энергии при­менительно к геометрической оптике. Теорема имеет важное зна­чение при рассмотрении вопроса о концентрировании пучков заряженных частиц. Она остается справедливой и за пределами параксиальной области, но требует нового обоснования; при этом углы и заменяются на sin и sin . Примеры использования уравнения Лагранжа - Гельмгольца будут даны в дальнейшем.

Остановимся еще на одном следствии основного уравнения. В пределах оптики параксиальных лучей для случая, когда электронная линза является тонкой и слабой, можно установить формулу, совершенно аналогичную известной элементарной фор­муле из обычной геометрической оптики. Электронная линза может считаться тонкой и слабой, если размеры линзы, т. е. область, где Е 0, малы по сравнению с ее фокусным расстоя­нием, а радиальные силы, действующие на электрон внутри линзы, не успевают в этой области заметно изменить расстояние электрона от оси.

Для простоты рассмотрим линзу, в которой потенциал с обеих сторон одинаков, т. е. линзу, свободную от иммерсии; линзы такого рода могут быть построены, например, с по­мощью трех диафрагм или трех цилиндров. Крайние электроды в этих системах должны находиться при одном и том же потен­циале.

Пусть потенциал в пространстве вне линзы равен U₀ и пусть пучок электронов расходится из произвольной точки А на оси перед линзой и вновь собирается в точке В после прохождения через линзу (рис. 4.3). Фактический ход потенциала внутри линзы неизвестен, и форма траектории внутри линзы не указана. Однако поскольку линза является слабой, можно считать, что расстояние электрона от оси в этой области не меняется. Электрические поля вне линзы равны нулю, и траектории электрона изображаются здесь отрезками прямых линий.

Рис. 4.3. Тонкая линза. Траектория частицы внутри линзы не рассматри­вается.

Рассмотрим одну из траекторий, выходящую из точки А и переходящую через линзу на расстоянии r₀ от оси (см. рис. 4.3). Данной траектории соответствует некоторая функция r(z), являющаяся одним из решений основного уравнения. Перепишем это уравнение в виде

(4.12)

и проинтегрируем его по z в пределах от А до В; тогда

(4-13)

Линза является тонкой, и, следовательно, обозначая расстоя­ния от точки О, т. е. центра линзы, до точки А (объекта) и точки В (изображения) через а и b, получим

(4.14)

Подинтегральная функция в равенстве (4.13) отлична от нуля только в интервале значений z, приходящихся на область внутри линзы, но там расстояние r практически постоянно и равно r₀. В результате равенство (4.13) перепишется:

(4.15)

или

(4.16)

Если а = , т. е. на линзу падает параллельный пучок лучей, то величина b по определению равна главному фокусному расстоянию; таким образом,

(4.17)

и равенство (4.16) принимает привычный вид:

(4.18)

Как и в обычной оптике, положительные значения а и b отвечают размещению объекта где-то в пространстве объектов и размещению изображения где-то в пространстве изображений; иными словами: объект находится перед линзой, изображение - за ней (ход лучей - электронных траекторий - принимается сле­ва направо). Если, однако, на линзу падает сходящийся пучок траекторий (случай мнимого источника, расположенного за линзой, в пространстве изображений), то величина а принимает отрицательное значение. Если после линзы возникает расходя­щийся пучок траекторий (случай мнимого изображения, располо­женного перед линзой, в пространстве объектов), то величина b отрицательна.

Правило знаков для фокусного расстояния также привычное: положительные значения отвечают собирательным линзам, от­рицательные - рассеивающим.

Если потенциал с обеих сторон линзы разный (иммерсия), то аналогичный расчет приводит к формуле

(4.19)

где f₁ и f₂ - соответственно переднее и заднее главные фо­кусные расстояния:

(4.20)

Как показывают последние равенства, фокусные расстояния иммерсионной линзы пропорциональны квадратным кор­ням из потенциала, т. е., как и в обычной оптике, про­порциональны соответствующим значениям коэффициента пре­ломления:

(4-21)

Встречающиеся на практике случаи движения заряженных частиц в различных электронно-оптических системах нередко весьма далеки от условия параксиальности, на котором были основаны все предыдущие выводы. В этих случаях, так же как в обычной оптике, качество изображения ухудшается, возникают различные электронно-оптические ошибки, или аберрации: сфе­рическая аберрация, кома, астигматизм, дисторсия, кривизна поля изображения.

Наибольшие затруднения при построении электронно-опти­ческих систем доставляет сферическая аберрация; это единствен­ная из ошибок изображения, которая сохраняется даже для точек объекта, лежащих на оси. Наличие сферической аберрации приводит к снижению разрешающей силы: точка объекта изображается в плоскости изображения в виде маленького кружка, так называемого кружка рассеяния. Диаметр кружка рассеяния, который является мерой сферической аберрации, рас­тет пропорционально кубу апертуры. Сферическая аберрация является главной ошибкой, препятствующей получению совер­шенного изображения в электронном микроскопе или сколь угодно интенсивного электронного луча с малым попереч­ником на экране осциллографа.

Другой важной электронно-оптической ошибкой является кома, возникающая при использовании широких и косых пуч­ков, исходящих от точек объекта, смещенных от оси.

Три остальные ошибки, хотя и ухудшают качество изобра­жения, не связаны непосредственно со снижением разрешающей силы и, как и в обычной оптике, играют относительно мень­шую роль. Заметим также, что кривизна поля изображения, т. е. возникновение резкого изображения не в плоскости, пер­пендикулярной к оси, а на искривленной приблизительно сферической поверхности, может быть ликвидирована путем применения соответственно искривленного объекта.

Выше уже было отмечено, что ограниченные возможности в сопряжении электронно-оптических поверхностей затрудняют борьбу с аберрациями. Поэтому при построении таких при­боров, как электронный микроскоп, приходится мириться с апер­турами в десятки или даже сотни раз меньшими, чем в ана­логичных оптических инструментах.

Помимо отступлений от параксиальности, приводящих к перечисленным пяти геометрическим ошибкам, качество изобра­жений может ухудшаться, как в обычной оптике, в результате применения немонохроматических электронных лучей. Если энергия электронов в данном месте определяется не только со­ответствующим значением потенциала, но и начальной энергией электронов, то точка объекта изобразится в плоскости изображе­ния даже в параксиальной области и независимо от гео­метрических ошибок не в виде точки, а в виде кружка рассеяния. Диаметр этого кружка рассеяния является мерой хроматической аберрации; его величина пропорциональна от­ношению разброса начальных энергий к энергии электрона в плоскости изображения. Хроматическая аберрация является принципиально неустранимым дефектом электронно-оптических систем и, наряду со сферической аберрацией, главной причиной снижения разрешающей силы изображения.