Кривые второго порядка.

Общее уравнение второго порядка относительно х и у имеет вид:

,

В котором коэффициенты А, В, и С одновременно не равны нулю: .

Линии, описываемые уравнением второго порядка, называются кривыми второго порядка. Любая кривая второго порядка, это либо эллипс (частный случай – окружность), либо гипербола, либо парабола, за исключением отдельных вырожденных случаев.

Эллипс (рис. 1).

Основные параметры Эллипса:

1. Точки F₁(c,0) и F₂(-c,0) называются фокусами эллипса. Ось Ох, на которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной осью.

2. Точка О(0,0) – центр эллипса.

3. А₁(а,0), А₂(-а,0), В₁(0,b), B₂(0,-b) – вершины эллипса. Отрезки А₁А₂=2а и В₁В₂=2b – большая и малая оси эллипса, а а и b – большая и малая полуоси. Эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b, с центром в начале координат.

Каноническое уравнение эллипса

,

При a=b, имеем частный случай эллипса – окружность, ее каноническое уравнение имеет вид:

(при a=b, R²=a²).

Координаты фокуса F находятся по формуле: . Отношение называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму: , для окружности .

Гипербола (Рис. 4.2). Каноническое уравнение гиперболы с фокальной (действительной) осью Оx имеет вид:

Основные параметры гиперболы:

1. Точка 0(0,0) – центр гиперболы;

2. Точки F₁(c,0) и F₂(-c,0) – конусы гиперболы, а ось, на которой лежат конусы, называется фокальной (действительной) осью гиперболы (на рис. Ось Ох). Тогда ось Оy – мнимая ось гиперболы;

3. Точки А₁(а,0) и А₂(-а,0) – вершины гиперболы;

4. Число а – действительная полуось гиперболы, b – мнимая полуось;

5. Гипербола имеет 2 ветви;

6. Координата фокуса с=√a²+b²;

7. Гипербола располагается вне прямоугольника со сторонами 2а и 2b. Диагонали этого прямоугольника определяются уравнениями: (y=b/a*x) и (y=- b/a*x) и являются асимптотами гиперболы;

8. Эксцентриситет, определяющий форму гиперболы, ε=с/а, ε>1.

Если а=b, гипербола называется равносторонней;

Если действительная ось гиперболы расположена на оси Оy, а мнимая - на оси Ох, гипербола называется сопряженной к представленной на рис. 2 и имеет каноническое уравнение вида (изображена пунктиром на рис. 2):

Парабола. Каноническое уравнение параболы имеет вид:

y²=2px (x²=2py),

где р – параметр параболы, F(p/2,0) – фокус. Для первого уравнения, осью симметрии параболы является ось Ох, для второго ось Оу. NF – директриса параболы. Для любой точки М(х,у): FM=MN; MN перпендикулярна директрисе. При р>0, ветви параболы направлены вправо, при р<0 – влево (вверх, вниз для второго уравнения. Точка 0(0,0) – вершина параболы).