Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

Формулы - координаты и векторы

Расстояние между точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формуле:

Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формулам:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид: y = kx + q. Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ox, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Oy

Общее уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oy и Ox, имеют вид: ax + by + c = 0. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 соответственно имеют вид:

Уравнения окружностей с радиусом R и с центром соответственно в точках O(0;0) и C(xo;yo) имеют вид:

Уравнение:   представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:

Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:

Модуль векторазаданного своими координатами, находится по формуле:

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:

Единичный векторсонаправленный с векторомнаходится по формуле:

Скалярным произведениемвекторовназывается число:   где - угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Косинус угла между векторами и находится по формуле:

Необходимое и достаточное условие перпендикулярностивекторов иимеет вид:

Общее уравнение плоскости, перпендикулярной векторуимеет вид: ax + by + cz + d = 0.

Уравнение плоскости, перпендикулярной векторуи проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид: a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде: