Следствие из принципа Дирихле

№5

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Докажите, что найдутся 2 из них, угол между которыми меньше 26º. Верно ли аналогичное утверждение, если 26º заменить на 25º?

Решение:

Без ограничения общности можно считать, что все прямые проходят через одну точку. Если бы все углы между ними были бы одинаковы, то каждый из них был бы равен = , и 25º< <26º. Значит, по следствию из принципа Дирихле обязательно найдутся 2 прямые, угол между которыми меньше 26º.

Аналогичное утверждение для угла 25º неверно, так как найдутся такие 7 прямых, угол между которыми все больше, чем 25º.

Наверняка

№6

В мешке лежат 100 белых и 100 черных шаров. Они тщательно перемешаны и неразличимы на ощупь. Какое наименьшее число шаров нужно вытянуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шара: 1) одного цвета; 2) разного цвета; 3) белого цвета?

Ответ: 1)3

2)101
3)102

№7

В коробке лежат 5 красных, 4 зеленых и 3 синих карандашей неразличимых на ощупь. Какое наименьшее число карандашей нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них наверняка оказалось:

1) 2 карандаша одного цвета;

2) 2 карандаша разных цветов;

3) 3 карандаша одного цвета;

4) 3 карандаша разных цветов;

5) 4 карандаша одного цвета;

6) 4 карандаша разных цветов.

Ответ:

1)4

2)6

3)7

4)10

5)10

6)12