Знакомства

№8

Докажите, что в любой компании из шести человек найдутся трое людей либо попарно знакомых, либо попарно незнакомых.

Решение:

Рассмотрим на плоскости 6 точек, изображающих 6 человек. Будем соединять их сплошной линией, если они знакомы, и пунктирной линией, если не знакомы. Из черной точки надо провести 5 отрезков 2-х видов, значит, обязательно есть 3 отрезка одного вида. Пусть ,например, сплошные. Какие же могут быть отрезки между точками 1, 2, 3? Возможны два принципиально разных случая:

Если все они пунктирные, то образуется пунктирный треугольник, то есть три попарно незнакомых человека.

Если же хотя бы один отрезок сплошной, то с черной точкой образуется сплошной треугольник, т.е. три пары попарно знакомых человека.

В любом случае утверждение задачи верно!

Принцип Дирихле и делимость

№9

Верно ли, что из шести любых целых чисел найдутся 2 числа, разность которых делится на 5?

Наводящие вопросы:

· Что можно взять в данной задачи за “кроликов” и за “клетки”??

· Как можно рассадить кроликов по клеткам??

· Какие остатки можно получить при делении на 5?

Решение:

«Кроликами» будет любые 6 чисел. Целые числа при делении на 5 могут давать 5 различных остатков: 0,1,2,3,4. Получаем 5 клеток, в каждую из которых будем сажать числа, дающие одинаковый остаток при делении на 5. Имеем шесть «кроликов» в пяти клетках. Значит, обязательно найдется два числа, дающих одинаковые остатки при делении на 5. Следовательно, их разность делится на 5 нацело.

Точки, многоугольники и принцип Дирихле

№10

В квадрат со стороной 1 м “бросили” 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса м.

Решение:

Разобьем квадрат на 25 равных квадратиков со стороной м.

Докажем, что в каком-то из них находится, по крайней мере, три из данных точек. Если в каждом квадратике (внутри или на сторонах) было не больше двух точек, то всего их было бы не больше 2*25=50. Значит, есть квадратик, в котором лежат по крайней мере три точки. Вычислим радиус круга, описанного вокруг него. R= < . Вот и накроем этот квадратик вместе с тремя точками кругом радиуса .

Домашнее задание:

№1
Саша подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше 4 конфет.

№2

В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той ж буквы?

№3

На плоскости нарисовали 5 прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя из них не больше 36º. (Если какие-нибудь прямые параллельны, давайте считать, что угол между ними равен 0º).

№4

В коробке лежат одинаковые по форме карандаши: 10 красных, 8 синих, 4 желтых. Какое наименьшее число карандашей надо взять в темноте, чтобы среди них заведомо было:

1) Не менее 4-х карандашей одного цвета?

2) Не менее 6-ти карандашей одного цвета?

3) Хотя один карандаш каждого цвета?

4) Не менее 6-ти карандашей синего цвета?

№5

Петя хочет написать на доске 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать?

№6

Выберем любым способом 5 человек. Докажите, что, по крайне мере, двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных.

№7

Верно ли, что из шести любых целых чисел найдутся 2 числа, разность которых делится на 5?

№8

В куб со стороной 1 м помещена 2001 муха. Докажите, что хотя бы трех из них можно поймать сферой радиуса .

Самостоятельная работа: