Эллиптические кривые.

Определение 1.Эллиптической кривой называется множество точек следующего уравнения:

, (1)

где числа являются константами в некотором числовом поле (множестве рациональных, вещественных или комплексных чисел) и удовлетворяют условию:

. (2)

Уравнения вида (1) называются эллиптическими кривыми в форме Вейерштарсса – в честь немецкого математика, который интенсивно занимался изучением таких кривых в 19 веке.

Пример.

а) б)

Рис. 1. Примеры эллиптических кривых на вещественной плоскости.

Рассмотрим смысл ограничения (2). В математике величину

называют дискриминантом полинома . Оказывается, что если то один из корней Х уравнения имеет кратность два. Точка М(Х,0) принадлежит кривой (1). Если то М удовлетворяет условию:

Т.к. уравнение касательной к кривой (1) в точке имеет вид то касательная к кривой (1) в точке М не определена. Точки, в которых не определена касательная, называются сингулярными. Таким образом, условие (2) гарантирует существование касательной в каждой точке кривой (1).

Если кривая (1) задана на вещественной плоскости, то знак величины позволяет определить количество вещественных корней: если , то уравнение имеет один вещественный корень и, следовательно, кривая (1) имеет единственную точку пересечения с осью абсцисс. Если же , то уравнение имеет три вещественных корня и кривая (1) имеет три пересечения с осью абсцисс. Для кривых и изображенных на рисунке 1, соответственно имеем: = , = .

Удивительным свойством эллиптических кривых является тот факт, что на множестве точек таких кривых можно ввести операцию «сложения». Однако для того, чтобы введенная операция образовывала абелеву группу, нужно дополнить точки кривой (1) бесконечно удаленной точкой, которая представляется в виде . Рассмотрим множество

В дальнейшем под эллиптической кривой будем понимать множество Е – множество решений уравнения (1), объединенное с бесконечно удаленной точкой.