Пример.

Рис. 2. Операции на множестве Е.

Докажем, что пара образует группу относительно операции «касательная и хорда».

Во-первых, применим к любой точке определение 2, когда (поскольку точка О включена во множество Е). Прямая , проходящая через точки и О, имеет вид:

Так как из условия следует, что число – квадратичный вычет в поле , то число является еще одним корнем уравнения . Другими словами, прямая также проходит через точку Из условия следует, что прямая проходит через те же три точки, что и прямая . По определению 2 получаем: для любой точки . Более того, для всех точек выполняется: . Вводя обозначение убеждаемся, что точка О является нулевым элементом относительно операции . Следовательно, во множестве Е существует нейтральный элемент, а также для любого элемента определен противоположный.

В частном случае, В этом варианте (это случай точки на нижней кривой рис. 2). В этом случае Этот вариант соответствует решению уравнения . Это решение существует, только если полином имеет нули в поле , т.е. является приводимым над .

Рассмотрим теперь общий случай, когда прямая не является вертикальной. Пусть проходит через точки . Она задается формулой:

, (3)

где

(4)

(это следует из того, что если то – угловой коэффициент прямой если же то – угловой коэффициент наклона касательной в точке ). Т.к. прямая пересекает кривую в точке то, чтобы ее найти, применим формулы (1) и (3). Координату точки можно определить, решив уравнение:

Пересечение является кубическим полиномом, имеющим нули . Это позволяет записать его уравнение:

где с – константа. Сравнивая коэффициенты при в двух формах записи полинома , получаем, что Так как , то .

Из всего сказанного следует

Теорема 1 (алгоритм сложения точек на эллиптической кривой).Пусть Е – эллиптическая кривая, точки принадлежат Е. Тогда:

1) если , то ;

2) если то

3) во всех остальных случаях где , коэффициент определяется формулой (4).

Пример.Рассмотрим эллиптическую кривую Е: над множеством вещественных чисел. Несложно видеть, что точки принадлежат кривой Е. Используя теорему 1, найдем сумму этих точек. Имеем:

Для этой же кривой найдем

Используя теорему 1, несложно показать, что введенная операция обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Итак, пара образует абелеву группу.