Уравнения эллиптического типа (двумерные уравнения теории упругости).

Уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы различной физической природы. Примером уравнения эллиптического типа являются уравнения теории упругости. Рассмотрим элемент dx, dy, нагруженный по торцам нормальными и касательными напряжениями (рис. 19).

На этот элемент действуют объемные силы вдоль оси X и Y. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи теории упругости имеют вид

Рассмотрим элемент dx, dy, нагруженный по торцам нормальными и касательными напряжениями. На этот элемент действуют объемные силы вдоль оси X и Y.

Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи теории упругости имеют вид

Закон Гука для плоского напряженного состояния (для изотропного материала) имеет вид

Здесь учтено, что . Связь между деформациями и перемещениями имеет вид

Связь между деформациями и перемещениями имеет вид

Здесь u – перемещения вдоль оси x; v – вдоль оси y. Подставляя в уравнение равновесия вместо напряжений их выражения через перемещения, получим

Подставляя в уравнение равновесия вместо напряжений их выражения через перемещения, получим

И тогда дифференциальные уравнения равновесия примут вид

иИли

Граничные условия в задачах теории упругости делятся на кинематические и статические, называемые также существенными и естественными. Кинематические (или существенные) граничные условия определяют составляющие вектора перемещений {u,v} на границе тела. Кинематические граничные условия определяются из условий закрепления тела. Это граничные условия 1-го рода.

Статические граничные условия в общем случае определяются из выражения

Здесь {p} – столбец внешних поверхностных сил; [s] – тензор напряжений; {n} – столбец направляющих косинусов нормали к поверхности в рассматриваемой точке.

Для объемного напряженного состояния тензор напряжений имеет вид

Для плоской задачи тензор напряжений будет иметь вид

Тогда, если на границе Г к телу приложены поверхностные силы p_x, p_y, то

Для свободной поверхности, к которой не приложены поверхностные силы, имеем граничные условия

Направляющие косинусы нормали к поверхности показаны на рисунке 20.

Для горизонтальной поверхности (нормаль совпадает с осью y) n_x = 0, n_y = 1. Для вертикальной поверхности (нормаль совпадает с осью x) n_x = 1, n_y = 0. Эти граничные условия являются граничными условиями 2-го рода.

В случае упругого основания (точки поверхности могут смещаться, но при этом возникает сила пропорциональная величине смещения) вместо поверхностных сил p_x, p_y будем рассматривать реакцию основания

Здесь k – коэффициент упругости (постели) основания (одинаковый для изотропного основания). И тогда граничные условия будут иметь вид

Эти граничные условия являются граничными условиями 3-го рода.

Другим примером уравнения эллиптического типа является уравнение прогиба пластины. Рассмотрим пластину толщиной h (рис. 21).

Пластина нагружена распределенной нагрузкой q(x,y). Уравнение прогиба пластины имеет вид

Пластина нагружена распределенной нагрузкой q(x,y). Уравнение прогиба пластины имеет вид

Здесь - цилиндрическая жесткость пластины (не зависит от x и y). В зависимости от закрепления краев пластины рассматривают следующие граничные условия:

1. жестко защемленный край: ;

2. шарнирное закрепление: , D - оператор Лапласа;

3. свободный край:

Здесь n – внешняя нормаль к границе Г; s - касательная к границе Г.

Кручение стержня некруглого сечения – еще один пример уравнения эллиптического типа. Дифференциальное уравнение имеет вид (система координат показана на рис. 22)

Дифференциальное уравнение имеет вид

Здесь j - функция напряжений Прандтля ; q - угол закручивания; G – модуль сдвига. На границе (по контуру сечения) функция .

Таким образом, в данном случае имеем следующую задачу: найти непрерывную функцию j(y,z) в некоторой области W, удовлетворяющую уравнению и граничному условию . Такая задача называется задачей Дирихле, а уравнение – уравнением Пуассона. Если f(y,z) º 0, то получаем задачу Дирихле для уравнения Лапласа . Одним из основных свойств задачи Дирихле для уравнения Лапласа является принцип максимума: непрерывное в W и отличное от константы решение j(y,z) может достигать своего максимального по модулю значения только на границе Г.