Метод конечных разностей для уравнений эллиптического типа.

Метод конечных разностей заключается в аппроксимации производных (1-х, 2-х и т.д.) на сетке и подстановке разностных выражений в исходное уравнение. Введем сетку на плоскости x, y (рис. 23).

Узлы вдоль оси x будем обозначать индексом "i"; вдоль оси y – индексом "j". Так , i = 0..n, j = 0..m.Шаг вдоль оси x: ; вдоль оси y: . Первые частные производные функции в узле сетки могут быть представлены правой, левой или центральной разностной схемой:

Введем сетку на плоскости x, y (см. рисунок ниже). Узлы вдоль оси x будем обозначать индексом "i"; вдоль оси y – индексом "j". Так , i = 0..n, j = 0..m.Шаг вдоль оси x: ; вдоль оси y: .

Первые частные производные функции в узле сетки могут быть представлены правой, левой или центральной разностной схемой:

Схема
Правая
Левая
Центральная

Соответственно, вторые частные производные будут аппроксимироваться выражениями:

Рассмотрим метод конечных разностей на примере задачи кручения стержня. В этом случае имеем дифференциальное уравнение

и нулевые граничные условия . Вместо , подставляем их разностные аппроксимации. Получим

Или, раскрывая скобки и изменяя порядок, получим

Последнее выражение представляет собой систему линейных уравнений относительно узловых значений искомой функции u_i,j.

В отличии от одномерных задач, где номер узла i фактически являлся и индексом вектора неизвестных {U} = {u₀, u₁,…, u_n} в системе линейных уравнений, здесь индексы (i,j) задают узел сетки, в котором определяется значение искомой функции. Если пронумеровать узлы сетки (см. рисунок выше), то можно построить следующую таблицу соответствия номера узла его индексам (i,j):

Индекс	Номер узла
i-1, j-1
i, j-1
i+1, j-1
i-1, j
i, j
i+1, j
i-1, j+1
i, j+1
i+1, j+1

Такой способ перенумерации индексов вектора неизвестных системы уравнений называют лексикографическим упорядочиванием. В соответствии с этим принципом упорядочивания вначале в вектор неизвестных {U} включают u_i,j, имеющих минимальное значение одного индекса (в данном случае последнего индекса "j"), а другой индекс (в данном случае первый индекс "i") последовательно пробегает весь диапазон возможных значений. После этого, значение 2-го индекса увеличивается на 1 и процесс продолжается. На рис. 24 показана нумерация узлов сетки в соответствии с принципом лексикографического упорядочивания для прямоугольной (а) и непрямоугольной (б) области.

Рассмотрим задачу о кручении стержня, сечение которого имеет вид, показанный на рисунке "б". Модуль сдвига G и угол закручивания q будем считать постоянными. В этом случае для внутренних узлов сетки (узлы 6, 7, 8, 9, 12, 13) можем записать разностные уравнения. Таблица соответствия номера узла индексам (i, j) приведена ниже:

На рисунке показана нумерация узлов сетки в соответствии с принципом лексикографического упорядочивания для прямоугольной (а) и непрямоугольной (б) области. Рассмотрим задачу о кручении стержня, сечение которого имеет вид, показанный на рисунке "б". Модуль сдвига G и угол закручивания q будем считать постоянными. В этом случае для внутренних узлов сетки (узлы 6, 7, 8, 9, 12, 13) можем записать разностные уравнения.

Таблица соответствия номера узла индексам (i, j) приведена ниже:

Значения в узлах на границе (узлы 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14, 15, 16) известны из граничных условия. Для данной задачи эти значения равны 0. Нам требуется определить значения функции только во внутренних узлах сетки (узлы 6, 7, 8, 9, 12, 13). Таким образом, нам необходимо решить систему 6 уравнений.

Матрица системы линейных уравнений является диагонально доминирующей (h_y, h_z < 1). В то же время матрица является сильно разреженной (содержит большое количество нулевых элементов). Вообще говоря, матрица является ленточной. Но в данном случае ширина ленточки не намного меньше ширины самой матрицы. Структура матрицы сильно зависит от порядка нумерации узлов сетки. Например, перенумеруем узлы сетки следующим образом (см. рисунок. 25; было "а", новая нумерация "б").

В этом случае значения узлов с 1-го по 10-й определяются из граничных условий U₁ = … =U₁₀ = 0. Каждая строка системы уравнений будет содержать коэффициенты для узлов, отмеченных на рисунке "б" (для данного уравнения; для уравнений, включающих смешанные производные, также будут входить и узлы, лежащие в "углах" квадрата – для узла 12 это узлы 1, 3, 9, 15). Поэтому "повышение плотности" матрица и сужение ширины ленточки достигается такой нумерацией, чтобы разница между наибольшим и наименьшим номерами узлов, входящих в окружение центрального, была бы минимальной. Для примера нумерации "а" эта разница составляет 8 (15-7 или 16-8 для 12‑го и 13‑го узлов, соответственно). Для примера нумерации "а" эта разница составляет 4 (для 14‑го узла). При подсчете этой разницы мы не учитываем граничные узлы, т.к. их значения нам известны из граничных условий и в состав матрицы коэффициентов они не входят. Граничные условия (значения в узлах сетки на границе) используются только для корректировки столбца правой части.