ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

А1, а2, а3, …..

называется числовой последовательностью и обозначается символом а_n . При этом числа а₁, а₂,… называются членами последовательности а выражение (а_n) называется общим членом последовательности.

Определение 2. Последовательность а_n называется возрастающей (убывающей) если:

а_n < a_n+1 n N( a_n > a_n+1 n N)

Определение 3. Последовательность а_n называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М (число m), что

a_n M n N (a_n m n N)

Определение 4. Последовательность а_n называется ограниченной, если она ограниченна как снизу так и сверху, т.е. существуют такие числа М и m ,что

M an M n N

Определение 5. Число Lназывается пределом последовательности аn , если для сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер n0 N,зависящий от что для всех натуральных чисел n n0 выполняется неравенство аn – L < .

При этом последовательность а_n сходящимся к числу A и пишут:

L = lim a_n (или а_n L при n )

ⁿ

Пример 1. Рассмотрим сл. числовую последовательность: 0,6; 0,06; 0,006; 0,0006, …

В этой последовательности .

Рассмотрим сл. последовательность:

Последовательность чисел - называют последовательностью частичных сумм .

, т.е.

Число 0.6666666666….= , бесконечную сумму называют числовым рядом.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные понятия:

Определение 6. Выражение u₁ + u₂ + .... + u_n +...где u₁, u₂... (1)

некоторые числа, называется числовым рядом и обозначается символом u_n , при этом числа u₁, u₂ – называются членами ряда, а u_n - общим членом ряда.

Определение 7. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда и обозначается S_n.

Т.о. числовому ряду (1) можно поставить в соответствие числовую последовательность

S₁, S_2, S₃...., S_n... (то есть S_n )

называемую последовательностью частичных сумм ряда (1), где n – ый член последовательности задается формулой:

S₁ = u₁, S₂ = u₁+u₂, S₃ = u₁+u₂+u₃, S_n= u₁+u₂+u₃+....+u_n –(2)

Определение 8. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм (2)

lim S_n= S при этом S называется суммой ряда.

ⁿ

В рассмотренном нами примере ряд сходящийся и его сумма ряда равна .

Определение 9. Если последовательность S_n не имеет конечного предела то ряд (1) называется расходящимся.

Пример 2. Рассмотрим сл. ряд . Последовательность частичных сумм этого ряда не имеет предела. т.е. . Т.е. данный ряд расходится.

Пример 3. Найти сумму следующего ряда:

Для этого необходимо

А) Найти последовательность частичных сумм , т.е.

Б) Показать, что данная последовательность сходится.

В) Найти предел этой последовательности, т.е. сумму ряда.

Решение.

И так, мы получили: . Т.е. сумма ряда равна 1.

Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема 1. – Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена u_n при n равен нулю.

lim u_n= 0 (3)

ⁿ

Условие (3) является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда (1)

Рассуждая от противного, получим из (3) – достаточный признак расходимости ряда (1): если общий член ряда (1) удовлетворяет условию

lim u_n 0 (4)

ⁿ

то ряд (1) расходится.

Пример 4. Рассмотрим следующий ряд с положительными членами:

Этот ряд называется гармоническим. Несмотря на то, что предел его го члена равен нулю, данный ряд расходится.

Пример 5.Рассмотримчисловой ряд вида:

где Р > 1 , P = const. Этот ряд называется рядом Дирихле или гипергармоническим рядом. Гармонический ряд можно рассматривать как частный случай ряда Дирихле при p = 1

Теорема : Ряд Дирихле сходится при P > 1 и расходится при 0 < P 1.

Пример 6.Рассмотрим числовой ряд

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q. Такой ряд называется геометрическим, причем этот ряд сходится , если расходится , если В рассмотренном нами примере (1) ряд геометрический, поэтому данный ряд сходится.

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ:

Свойство 1. Если ряд u_n сходится и его сумма равна S, то сходится и ряд u_m+1+u_m+2+... (5)

полученный из ряда (1) отбрасыванием его первых m членов. Сумма ряда (5) равна S – S_m где

S_m = u₁+u₂+_.....+ u_m

где m некоторое фиксированное натуральное число.

Свойство 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то сходится ряд:

а₁+ а₂+ а_m+ …+ u₁+u₂+_.....+ u_n+...(6)

полученный из ряда (1) приписыванием к нему первых произвольных m слагаемых . Сумма ряда (6) равна числу

S + A_m где

А_m= а₁+ а₂+ а_m

m – некоторое фиксированное натуральное число.

Замечание: Если исходный ряд (1) расходится , то расходятся ряды (5) и (6) , полученные из (1) приписыванием или отбрасыванием конечного числа первых членов. Поэтому ряды вида (1) (5) (6) - эквивалентны с точки зрения сходимости.( т.е. сходятся или расходятся одновременно)

Свойство 3. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S , то сходится и ряд

ku₁+ku₂+_.....+ku_n +... где kнекоторое постоянное число и его сумма равна k S.

Свойство 4. Если ряды u_n v_nсходятся и их суммы равны соответственно S и V , то сходятся ряды:

(u_n+v_n)и (u_n-v_n)а их суммы равны соответственно:

S + V и S - V

Свойство 5. Если ряд u_n сходится, а ряд v_n расходится

то расходятся ряды с (u_n+v_n) (u_n-v_n)

Замечание:Если оба ряда u_n v_n расходятся, то ряды

(u_n+v_n)и (u_n-v_n) могут быть сходящимися.

РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ:

Необходимое и достаточное условие сходимости:

Определение 1. Числовой ряд u_n= u₁+u₂+_.....+ u_n+...

в котором u_n > 0 n N,называется рядом с положительными членами.

Главной особенностью ряда с положительными членами является то, что последовательность его частичных сумм