S1, S2, S3....,Sn..

содержит только положительные числа, поэтому будет возрастающей и ограниченной снизу (нулем). Следовательно, последовательность S_n всегда имеет предел.

Этот предел будет конечным числом тогда и только тогда, когда последовательность S_n ограничена сверху.

В противном случае если она не не ограничена сверху – имеем:

lim S_n= +

ⁿ

Теорема 1:(необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами) – Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ:

Теорема 4: (первый признак сравнения) – Пусть члены положительных рядов :

u_n= u₁+u₂+_.....+ u_n+... (6)

v_n= v₁+v₂+_.....+ v_n+... (7)

Удовлетворяют неравенству: u_n v_n n N ..... (8)

тогда если:

а) ряд (7) сходится, то сходится и ряд (6)

б) ряд (6) расходится, то расход. ряд (7)

Замечание: Теорема 4 сохраняет силу если условие (8) будет выполнено, начиная с некоторого номера n₀ > 1 n₀ N, (т.к. отбрасывание или приписывание к ряду любого числа первых членов не меняет характер сходимости ряда.)

Теорема 5: (второй признак сравнения) – Пусть члены положительных рядов (6) и (7) таковы , что существует конечный предел :

lim u_n / v_n = q 0

n

Тогда ряды (6) и (7) эквивалентны с точки зрения сходимости – т.е. сходятся и расходятся одновременно.