Ключевые положения

Шифрование/дешифрование с использованием эллиптических кривых

Рассмотрим самый простой подход к шифрованию/дешифрованию с использованием эллиптических кривых. Задача состоит в том, чтобы зашифровать сообщение М, которое может быть представлено в виде точки на эллиптической кривой P_m (x,y).

Как и в случае обмена ключом, в системе шифрования/дешифрования в качестве параметров рассматривается эллиптическая кривая E_p (a,b) и точка G на ней. Участник B выбирает закрытый ключ n_B и вычисляет открытый ключ P_B = n_B × G. Чтобы зашифровать сообщение P_m используется открытый ключ получателя B P_B. Участник А выбирает случайное целое положительное число k и вычисляет зашифрованное сообщение C_m, являющееся точкой на эллиптической кривой.

Чтобы дешифровать сообщение, участник В умножает первую координату точки на свой закрытый ключ и вычитает результат из второй координаты:

Участник А зашифровал сообщение P_m добавлением к нему kxP_B. Никто не знает значения k, поэтому, хотя P_B и является открытым ключом, никто не знает k × P_B. Противнику для восстановления сообщения придется вычислить k, зная G и k × G. Сделать это будет нелегко.

Получатель также не знает k, но ему в качестве подсказки посылается k × G. Умножив k × G на свой закрытый ключ, получатель получит значение, которое было добавлено отправителем к незашифрованному сообщению. Тем самым получатель, не зная k, но имея свой закрытый ключ, может восстановить незашифрованное сообщение.

Домашнее задание

Вариант соответствует последней цифре номера студенческого билета.

Пусть эллиптическая кривая задана уравнением y²=(x³+3x+5) mod 17, а образующая точка (элемент) G(x,y) = (1,3).

Выполнить генерацию ключей, шифрование и расшифровку в соответствии с исходными даннвми согласно номера варианта.

Содержание протокола

4.4.1. Название работы.

4.4.2. Цель работы.

4.4.3. Выполненное домашнее задание

4.4.4. Выполненное лабораторное задание

4.4.5. Выводы.

Ключевые вопросы

4.5.1. Что представляет собой идеальная криптосистема с открытым ключом?

4.5.2. Описать последовательность действий при передаче шифровки с открытым ключом по алгоритму Эль-Гамаля.

4.5.3. Как вычислить степенную функцию в простом поле Галуа?

4.5.4. Как вычислить логарифм в простом поле Галуа?

4.5.5. Почему секретный ключ в этой криптосистеме может быть любым числом в пределах от 2 до Р-1?

4.5.6. На какой математической особенности основана трудность взлома шифра Эль-Гамаля?

4.5.7. Какой длины ключи применяются в настоящее время в этой криптосистеме?