Математическая статистика

Лабораторная работа № 1

1. Среднее арифметическое, размах и мода

Задание 1.При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

По имеющемуся ряду данных определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Задание выполнить в редакторе электронных таблиц Microsoft Excel. В одном файле Microsoft Excel каждую задачу выполняем на отдельном листке,которые подписываем«задание 1», «задание 2» и т.д.

Алгоритм действий:

1. рисуем красивую табличку;
2. заносим исходные данные;
3. в ячейке, предназначенной для вычисления среднего арифметического ставим знак «равно»;
4. щелкните по кнопке «мастер функций»;
5. выбираем категорию функций «Статистические»;
6. выберите функцию «СРЗНАЧ»;
7. нажмите ОК (ENTER)
8. задайте диапазон с исходными значениями (проверьте правильность его задания компьютером);
9. нажмите ОК (ENTER)
10. проверьте, что запись в ячейке, предназначенной для вычисления среднего арифметического, имеет вид =СРЗНАЧ(В2:В13);
11. нажмите ОК (ENTER)

Определение 1.Число, полученное в результате, вычислений называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Проводя аналогичные наблюдения за группой учащихся, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течение недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой-либо день домашних заданий по физике и русскому языку и т.п.

Обычно среднее арифметическое находят тогда, когда хотят определить среднее значение для некоторого ряда данных. Среднее арифметическое находят только для однородных величин. Например, не имеет смысла использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчовых культур в фермерском хозяйстве. Иногда не имеет смысла находить среднее арифметическое и для однородных величин. Например, лишено смысла нахождение средней температуры больных в больнице, среднего размера обуви, которую носят учащиеся вашей группы и т.п.

При выполнении задания 1, вы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 мину. Однако, анализ приведенного ряда показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 минут, т.е. от среднего арифметического. Наибольший расход времени равен 37 минут, а наименьший – 18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 минут. В этом случае говорят, что размах рядаравен 19.

Определение 2. Размахом ряда чиселназывается разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Задание 2. Вычислить размах ряда из задания 1 в той же самой таблице Microsoft Excel.

Алгоритм действий:

1. в ячейке, предназначенной для вычисления минимального значения ставим знак «равно»;
2. щелкните по кнопке «мастер функций»;
3. выберите функцию «МИН»;
4. нажмите ОК (ENTER)

1. задайте диапазон с исходными значениями (проверьте правильность его задания компьютером);
2. нажмите ОК (ENTER)

1. проверьте, что запись в ячейке, предназначенной для вычисления среднего арифметического, имеет вид =МИН(В2:В13);
2. нажмите ОК (ENTER)
3. аналогично находим минимальное значение для исходных данных, выбрав функцию «МАКС»;
4. в ячейке, предназначенной для вычисления размаха ряда ставите «равно», щелкаете по ячейке с максимальным значением, нажимаете на клавиатуре знак «минус», щелкаете по ячейке с минимальным значением;
5. проверьте, что запись в ячейке, предназначенной для вычисления размаха ряда, имеет вид =В16-В15;
6. нажимаете ОК (ENTER)

Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течение суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислить среднее арифметическое, показывающее какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебания температуры в течение этих суток.

При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, узнать какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, то есть какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 25. Говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.

Определение 3. Модой ряда чиселназывается число, чаще других встречающееся в данном ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

Задание 3.Найти моду ряда чисел 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53

и моду ряда чисел 69, 68, 66, 80, 67, 71, 74, 63, 73, 72.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских рубашек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, которая характеризует размер, который пользуется наибольшим спросом.

Имеет ли смысл в этом случае находить среднее арифметическое? Почему?

Мода является наиболее приемлемым показателем, при выявлении, например, расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели; цены на товар данного вида, наиболее распространенной на рынке и т.д.

Задание 4.Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найти для данного ряда среднее арифметическое, размах и моду, составив, предварительно, из имеющихся данных упорядоченный ряд чисел. Задание выполнить в редакторе электронных таблиц Microsoft Excel.

Определение 4. Упорядоченный ряд чисел– это такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.

Задание 5.Ответьте на вопросы. Обязательно ли среднее арифметическое должно совпадать с каким-либо из чисел ряда? Всегда ли существует мода ряда? Если мода ряда существует, то обязательно ли она должна совпадать с каким-либо из чисел ряда?

В отличие от среднего арифметического, понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ предпочитают смотреть и т.п. Модой будут служить те ответы, на которые встретятся чаще всего. Этим можно объяснить само название «мода».

Задание 6.Найдите в одной таблице средние арифметические, размах и моду для следующих числовых рядов. При занесении в таблицу ряды упорядочить.

Заполнить ячейки с формулами только для одного ряда, для остальных протянуть вправо.

Для этого:

1. выделить необходимую ячейку, например СРЗНАЧ для ряда 1;
2. подвести указатель мыши к правому нижнему углу выделенного диапазона;
3. протянуть вправо на нужное количество ячеек.

а) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26

б) 21; 15,5; 25,3; 18,5; 17,9

в) 67,1; 68,2; 67,1; 70,4; 68,2

г) 0,6; 0,8; 0,5; 0,9; 1,1

Задание 7.Найдите в одной таблице средние арифметические, размах и моду для следующих числовых рядов. При занесении в таблицу ряды упорядочить.

Задание 8.Найдите в одной таблице средние арифметические, размах и моду для следующих числовых рядов. При занесении в таблицу ряды упорядочить.

а) 16, 22, 16, 13, 20, 17

б) -21, -33, -35, -19, -20, -22

в) 61, 64, 64, 83, 61, 71, 70

г) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, 13

Задание 9.Ответьте на вопросы.

Как может измениться размах и мода ряда чисел, если:

1) дополнить его числом, превосходящим остальные;

2) вычеркнуть из него число, которое меньше всех остальных;

3) дополнить его числом, равным наибольшему из чисел.

Для проверки своих предположений на отдельных листках, подписанных «эксперимент 1», «эксперимент 2» и «эксперимент 3» проведите компьютерные эксперименты на материале заданий 6-8.

Задание 10.В таблице дан расход электроэнергии некоторой семьи в течение года:

Найти средний ежемесячный расход электроэнергии этой семьи.

Задание 11.В таблице приведены данные о продаже в течение недели картофеля, завезенного в овощную палатку.

Сколько картофеля в среднем продавали?

Задание 12.Решите задачу. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Для решения этой задачи заполните таблицу в соответствии с образцом:

Задание 13.Решите задачу. Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно 13. Из этого ряда вычеркнули число 3. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Для решения этой задачи заполните таблицу, подобную заданию 12.

Задание 14.В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады

Для представленного в таблице ряда найдите среднее арифметическое, размах и моду. Каков смысл каждого из этих показателей?

Результаты оформить в виде следующей таблицы

Задание 15.На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки:

5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3

Для полученного ряда чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый их этих показателей?

Задание 16.В аттестате о среднем образовании у четырех друзей – выпускников школы оказались следующие оценки

С каким усредненным баллом окончил школу каждый из этих выпускников? Укажите наиболее типичную для каждого из них оценку в аттестате. Какие статистические характеристики вы использовали?