Элементы теории

Лабораторная работа № 5.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПРИ ПОМОЩИ

ПРОЗРАЧНОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

Задание:определить длины волн света, излучаемого источником оптического излучения со сплошным спектром.

Приборы и принадлежности:дифракционная решетка, установка для измерения длины световой волны, источник сплошного спектра.

Элементы теории

Явление отклонения от законов геометрической оптики при распространении световых волн вблизи препятствий называется дифракцией света. Оно хорошо наблюдается при прохождении световых волн через узкие отверстия или около малых преград, соизмеримых с их длиной волны. Дифракция света имеет место также при отражении световых волн от препятствий, сравнимых с длиной волны света. Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при падении света на дифракционную решетку. Дифракционная решетка является оптическим устройством, представляющим собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (канавок, щелей, выступов), нанесенных тем или иным способом на плоскую или вогнутую оптическую поверхность. Такие решетки называются одномерными дифракционными решетками.

Фронт световой волны, падающей на дифракционную решетку, разбивается ее штрихами на отдельные когерентные пучки, которые, претерпев дифракцию на штрихах, интерферируют. В результате интерференции образуется пространственное распределение интенсивности света, зависящее от длины световой волны. Эта зависимость позволяет разлагать падающее немонохроматическое излучение в спектр и использовать дифракционную решетку для изучения спектрального состава оптического излучения.

Существуют отражательные и прозрачные дифракционные решетки. На решетках первого типа штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность, и результирующая интерференционная картина образуется в отраженном от решетки свете. На решетках второго типа штрихи нанесены на прозрачную (стеклянную) поверхность, и интерференционная картина образуется в проходящем свете.

Если штрихи нанесены на плоскую поверхность, то такие дифракционные решетки называются плоскими одномерными, если на вогнутую – вогнутыми одномерными решетками.

Для изучения дифракции микрочастиц (электронов, нейтронов, атомов и др.) используют двумерные отражательные дифракционные решетки, роль которых играют поверхностные слои монокристаллов (монослои). Дифракция микрочастиц может быть понята здесь лишь на основе квантовомеханических представлений о микрочастице как о волне (волне де Бройля).

Дифракция рентгеновских лучей (λ ~ 10^{-10 м), обладающих высокой проникающей способностью, наиболее ярко выражена в кристаллах, являющихся естественными трехмерными дифракционными решетками отражательного типа. Атомы и молекулы, расположенные в узлах кристаллической решетки кристалла, образуют трехмерную периодическую структуру. Расстояния между рассеивающими центрами (атомами или молекулами в узлах кристаллической решетки) сравнимы с длиной волны рентгеновского излучения. Это явление используется для изучения строения молекул и кристаллов.}

Общим условием дифракции волн любой природы является соизмеримость длины падающей волны λ с расстоянием d между штрихами (рассеивающими центрами): λ ≤ d. Поэтому при работе в различных областях спектра используются дифракционные решетки с различным периодом d, а следовательно, различным числом штрихов на 1 мм.

Вначале более подробно рассмотрим дифракцию плоской монохроматической световой волны от одной щели шириной b при нормальном падении волны.

Параллельный пучок света, пройдя через щель на непрозрачном экране Э₁, дифрагирует под разными углами вправо и влево от первоначального направления падения лучей. Линза Л собирает параллельные пучки дифрагированных лучей в соответствующих точках экрана Э₂, расположенного в ее фокальной плоскости. Недифрагированные лучи (штриховые линии) соберутся в точке Р₀, а лучи, дифрагированные, например, влево под углом φ (сплошные линии), соберутся в точке Р_φ.

Поскольку фронт плоской волны совмещен с плоскостью щели, то все точки фронта будут колебаться с одинаковой фазой. Разобьем фронт волны в плоскости щели от точки А до точки В на полоски равной ширины, параллельные краям щели. Каждая полоска будет играть роль вторичного источника световых волн. Вследствие идентичности полосок амплитуды волн, создаваемых каждой полоской, будут одинаковыми.

Ширину элементарной полоски обозначим через dx. Она возбуждает колебания, описываемые уравнением , где С – постоянная величина. Если амплитуду падающей волны, соответствующей всей ширине щели, обозначим через А₀, то , откуда , следовательно, амплитуда колебания dA₀, возбуждаемого зоной шириной dx в любой точке экрана, имеет вид

, (1)

а возмущение, вызванное каждой полоской, определяется выражением

. (2)

Поскольку линза не вносит добавочной разности хода, то распределение фазы волны в точке Р_φ будет таким же, как и в плоскости AF, образующей с плоскостью щели угол φ. Возмущение, обусловленное произвольной полоской шириной dx, расположенной на расстоянии x от точки А в плоскости AF, выразится уравнением

_. (3)

Поскольку волны, возбуждаемые каждой полоской, являются когерентными, то результирующее возмущение в точке Р_φ определим интегрированием выражения (3) по всей ширине щели от нуля до b:

. (4)

Таким образом, амплитуда результирующего возмущения в точке Р_φ имеет вид:

. (5)

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, в соответствии с (5) имеем:

. (6)

Здесь I₀ – интенсивность света, идущего от всей щели в направлении φ = 0, т.е. в направлении распространения фронта падающей на щель плоской волны.

График функции (6) изображен на рис. 2. По оси абсцисс отложены значения sinφ, по оси ординат – интенсивность I_φ.

Для точки Р₀, лежащей против центра линзы, φ = 0. Подстановка этого значения в формулу (5) дает для амплитуды значение, равное А₀. При значениях φ, удовлетворяющих условие: , т.е. в случае, если

(m = 1, 2, 3, …), (7)

амплитуда А_φ обращается в нуль. Таким образом, условие (7) определяет положение минимумов интенсивности.

Рассмотрим одномерную прозрачную дифракционную решетку. Она представляет собой стеклянную пластину, на которой с помощью делительной машины нанесен ряд параллельных штрихов, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Места, прочерченные делительной машиной, рассеивают свет по всем направлениям. Поэтому штрихи являются практически непрозрачными полосами пластины. Свет пропускают лишь прозрачные полосы (щели) пластины, расположенные между соседними штрихами. Практически длина такой щели во много раз больше ее ширины.

На рис. 3 выделены две соседние щели АВ и CD дифракционной решетки. Если ширина каждой щели равна b (АВ = b), а ширина непрозрачных участков между щелями - а (ВС = а), то величина d=a+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления φ одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:

Δ = CF = (a+b) sin φ = d sin φ. (8)

Рис. 3.

Очевидно, что каждая из щелей даст на экране картину, описываемую кривой, показанной на рис. 2, т.е. и при двух щелях прежние (главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых тем же условием (7).

Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, идущих от двух щелей, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы, которые будут наблюдаться в направлениях, соответствующих разности хода лучей λ/2, 3λ/2, ..., идущих, например, от крайних левых точек А и С обеих щелей. Таким образом, с учетом (8) имеет место условие дополнительных минимумов:

, (9)

где m – порядок максимума.

Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если

d sin φ = ± 2m (λ/2) = ±mλ (m = 0, 1, 2, ...), (10)

т. е. выражение (10) определяет условие главных максимумов.

Таким образом, полная дифракционная картина для двух щелей определяется условиями:

главные минимумы

b sin φ = λ, 2λ, 3λ, …;

дополнительные минимумы

d sin φ = λ/2, 3λ/2, 5λ/2, …;

главные максимумы

d sin φ = 0, λ, 2λ, 3λ, …,

т. е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагается два дополнительных минимума, при четырех щелях — три и т. д.

Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является условие (7), условием главных максимумов — условие (10), а условием дополнительных минимумов

d sin φ = ± m' λ/N (m' = 1, 2, …, N – 1, N +1, …, 2N – 1, 2N + 1, …), (11)

где m' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ..., т. е. кроме тех, при которых условие (11) переходит в (10). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается N – 1 дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон.

На рис. 4 качественно представлена дифракционная картина от восьми

щелей. Для направлений, удовлетворяющих соотношению (10), результирующая волна для решетки из N щелей будет иметь амплитуду А, равную N амплитудам А_φ волн, дифрагированных от каждой щели в данном направлении φ, т.е. . Тогда интенсивность I света в точках главных максимумов на экране будет в N² раз больше интенсивности, создаваемой одной щелью:

. (12)

Так как модуль sinφ не может быть больше единицы, то из (10) следует, что число главных максимумов (порядков спектра)

m ≤ d / λ

определяется отношением периода решетки к длине волны.

Чем больше щелей содержит решетка, тем большая световая энергия пройдет через нее и тем более яркими и узкими будут максимумы дифракционной картины на экране.

Положение главных максимумов зависит от длины волны λ (см. (10)).

На рис. 5 показаны спектры, полученные при пропускании сквозь

Рис. 5.

дифракционную решетку последовательно красного, фиолетового и белого света (период решетки d = 2,5 ∙ 10^-6 м, что соответствует 400 штрихам на один миллиметр). Из рисунка видно, что при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (m = 0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу. С увеличением m (порядка спектра) интенсивность уменьшается, а сами порядки спектров, начиная со второго, накладываются друг на друга (т.е. перекрываются). На рис.5 для наглядности третьи порядки смещены вниз относительно вторых, а четвертые порядки смещены вниз относительно третьих. Перекрытие спектров более высоких порядков объясняется тем, максимумы более коротких длин волн попадают в те же места, что и максимумы более длинных волн в спектрах других порядков.

При пропускании сквозь решетку красного и фиолетового цветов света все максимумы, кроме центрального, будут узкими (в виде отдельных цветных линий). Положение этих максимумов соответствует цвету этих линий в порядках белого света. Современные дифракционные решетки (до 1800 штрихов на миллиметр длины) дают растянутые спектры. На (рис. 6) показан спектр, полученный с помощью решетки, имеющей 1800 штрихов на миллиметр длины.

Дифракционные решетки используются для исследования спектрального

Рис. 6.

состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов). Таким образом, дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор.

Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, различаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 1800 до 0,25 штрих/мм, что позволяет перекрывать область спектра от ультрафиолетовой его части до инфракрасной). Например, ступенчатый профиль решетки позволяет концентрировать основную часть падающей энергии в направлении одного определенного ненулевого порядка.

Спектральный состав излучения атомов различных веществ весьма разнообразен. Тем не менее, все спектры можно разделить на три сильно отличающихся друг от друга типа.

Непрерывные (сплошные) спектры.В непрерывном спектре излучения (рис. 6 и рис. 7,1) представлены волны всех длин. В спектре нет разрывов, и на экране спектрографа можно видеть сплошную разноцветную полосу с плавным переходом от одного цвета к другому.

Непрерывные (или сплошные) спектры дают тела, находящиеся в твердом или жидком состоянии, а также сильно сжатые газы. Для получения непрерывного спектра нужно нагреть тело до высокой температуры. Характер непрерывного спектра и сам факт его существования определяются не только свойствами отдельных излучающих атомов, но и в сильной степени зависят от взаимодействия атомов друг с другом. Непрерывный спектр дает также высокотемпературная плазма. Электромагнитные волны излучаются плазмой в основном при столкновении электронов с ионами.

Линейчатые спектры.Линейчатые спектры излучения (рис. 7: 2,3,4) представляют собой набор цветных линий различной яркости, разделенных широкими темными полосами. Наличие линейчатого спектра означает, что вещество излучает свет только вполне определенных длин волн (точнее, в определенных очень узких спектральных интервалах). Каждая из линий имеет конечную ширину. Линейчатые спектры дают все вещества в газообразном атомарном (но не в молекулярном) состоянии. Изолированные атомы химического элемента излучают строго определенные длины волн, характерные данному химическому элементу. Природа линейчатых спектров объясняется тем, что у атомов конкретного вещества существуют только ему свойственные стационарные состояния со своим набором энергетических уровней.