Краткая теория. Ток, величина и направление которого периодически меняются во времени, называется переменным током

Ток, величина и направление которого периодически меняются во времени, называется переменным током. Переменный ток в цепи, обладающей активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью, обусловлен переменным напряжением:

, (20.1)

где - напряжение в данный момент времени,

- амплитуда напряжения,

- круговая частота ( - частота городского тока).

В такой цепи (рис. 20.1) закон Ома имеет следующий вид:

, (20.2)

где – сила тока в цепи в данный момент времени,

– сопротивление катушки,

– электроемкость конденсатора,

– заряд на обкладках в данный момент времени.

По определению силы тока

. (20.3)

Преобразуем уравнение (20.2) с учетом (20.3)

. (20.4)

Введем обозначения: и . При этом уравнение (20.2) примет вид:

. (20.5)

Частным решение этого уравнения является решение вида:

, (20.6)

где – амплитуда заряда на конденсаторе, равная

, (20.7)

где – сдвиг фаз между напряжением в сети и зарядом на конденсаторе, определяемым по формуле:

Дифференцируя выражения (20.5) по времени, согласно (20.3), найдем мгновенное значение силы тока:

, (20.8)

где – амплитуда силы тока,

– сдвиг фаз между напряжением и силой тока в цепи .

При этом

, (20.9)

т.е. амплитуда силы тока определяется амплитудой напряжения U_m, параметрами цепи R_A, L, С и частотой n (т.к. ). Проводя аналогию с законом Ома для участка цепи постоянного тока, запишем:

. (20.10)

Величина Z, равная , называется полным электрическим сопротивлением, или импедансом Z цепи. В отличие от активного (омического) сопротивления величина называется реактивным сопротивлением Х цепи. Таким образом:

. (20.11)

Катушка индуктивности и конденсатор в цепи переменного тока характеризуется соответственно индуктивным R_L и емкостным R_C сопротивлениями, которые определяются по формулам:

, (20.12)

. (20.13)

Согласно (20.8) ток в цепи отстает по фазе от напряжения в сети на угол , который зависит от параметров цепи и частот:

,

или

. (20.14)

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока (активная составляющая мощности), в данный момент времени равна:

. (20.15)

Практическое значение имеет средняя за период величина мощности Р. Найдем её:

. (20.16)

таким образом, нахождение средней мощности сводится к нахождению среднего за период квадрата силы тока .

Величину найдём путём интегрирования выражения , используя равенство (20.8) в результате чего получим

(20.17)

Величина называется действующим значением силы тока I. Выражение (16) для средней мощности переменного тока имеет вид:

(20.18)

Аналогичные рассуждения можно провести и для напряжения, получив при этом действующее (эффективное) значение напряжения , при чём .

Физический смысл значений U и I следующий: действующие значения силы тока и напряжения равны соответственно значениям силы тока и напряжения в цепи такого постоянного тока, который на том же активном (омическом) сопротивлении R выделяет такую же мощность Р, что и переменный ток.

Для гармонических изменяющихся тока и напряжения

, . (20.19)

Выражение (20.16) для средней мощности Р (имеется ввиду активная составляющая мощности) с учетом (20.17), (20.10), (20.14) может быть преобразовано следующим образом:

. (20.20)

Величина

(20.21)

называется коэффициентом мощности. Следовательно, средняя энергия переменного тока, вычисляется по формуле , равна

. (20.22)

На практике (в частности и в быту) для подсчета энергии широко используется электрический счетчик. Счетчик электроэнергии принадлежит к приборам инерционной системы. Их устройство основано на взаимодействии между переменными магнитными полями неподвижных электромагнитов и токами, индуцируемыми в металлическом диске при изменении магнитных полей (токами Фуко).

Счетчик состоит из двух электромагнитов, диска, вращающегося между полюсами электромагнитов, и постоянного магнита, который создает тормозящий момент (рис. 20.2). Катушка одного электромагнита включена в цепь параллельно, а другого последовательно (рис. 20.2). К катушкам подходят переменные токи I₁ и I₂, магнитные поля которых создают в диске индукционные токи. В следствии взаимодействия этих индукционных токов с магнитным полем диск, стремясь вытолкнуться из области этих полей, приходит во вращение.

Что бы уяснить этот процесс, рассмотрим кольцевой проводник, симметрично охватывающий поток магнитной индукции ограниченного сечения, направленный, на пример, за чертёж и возрастающий по величине (рис. 20.3). В этом случае в проводнике будет индуцироваться ток, согласно правилу Ленца направленный против часовой стрелки. Благодаря взаимодействию тока с магнитным потоком проводник подвергается действию сил, стремящихся сжать его. При этом проводник остаётся покоен.

Диск счётчика одновременно пронизывает потоки Ф₁ и Ф₂ магнитных индукций В₁ и В₂, создаваемых токами I₁ и I₂. Изменяясь, магнитные потоки наводят в диске соответственные токи и (рис.20.4).

Ток I₃ взаимодействует с магнитным потоком Ф₂ электромагнитной катушки с током I₂, а ток I₄ соответственно- с магнитным потоком Ф₁ электромагнита с током I₁. Благодаря взаимодействуя индукционных токов с «чужими» взаимодействует результирующая, отличная от нуля, сила, сообщая диску ускорение, и он начинает вращаться.

Магнитный поток, создаваемый катушкой, включённой параллельно, пропорционален напряжению , так как. . Поток, создаваемый катушкой, включённой в цепь последовательно, прямо пропорционален силе тока I₂, равной силе тока I в цепи, т.е. . Эти сдвинуты между собой по фазе, так как сдвинуты по фазе между собой ток I и напряжение U. Величина вращательного момента при этом определяется соотношением:

, ,(20.23)

где k=k_вр k₁ k₂ – коэффициент пропорциональности,

– мощность, потребляемая в цепи переменного тока.

При вращении диск проходит между полюсами постоянного магнита. При взаимодействии индукционных токов с полем магнита создаётся тормозящий момент пропорционален числу оборотов диска n в единицу времени:

. (20.24)

Регулируя положение постоянного магнита, можно добиться равенства М_торм=М_вр. При этом скорость вращения диска становится постоянной. Счетный механизм, соединенный с осью диска, подсчитывает полное число оборотов за время t

,

т.е. , (20.25)

где W – потребляемая в цепи электроэнергия.

Тогда , (20.26)

где А – постоянная счетчика, равная .

Поскольку электроэнергия пропорциональна числу оборотов N, счетчик проградуирован в единицах измеряемой электроэнергии. В промышленности и в быту наиболее распространенной единицей электроэнергии является киловатт-час, равный 3.6×10⁶ Вт с или 3.6×10⁶ Дж.

Важной характеристикой электросчетчика является его постоянная А. Эта величина численно равна количеству электроэнергии, которое, проходя через счетчик, заставляет диск сделать один оборот. Определить А, выраженную в , можно так:

, (20.27)

где N – число оборотов диска, соответствующее энергии 1кВт×час (записано на шкале счетчика).