Представление вещественных чисел

Вещественные числа представляются в ПК в форме с плавающей точкой.

Этот формат использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления p в некоторой целой степени n которую называют порядком: R=m*pⁿ

Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно.

Например: 25.324=25324*10¹=0.0025324*10⁴=2532.4*10^-2

В ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:

0.1_p m<1_p

Иначе говоря, мантисса меньше 1 и первая значащая цифра - не 0.

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранится). Следовательно, внутреннее представление вещественного числа сводиться к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

Например: 4-x байтовая ячейка памяти. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе:

- знак числа;

- порядок;

- значащие цифры мантиссы.

	МАНТИССА
1-й байт	2-й байт	3-й байт	4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранятся знак числа: 0 обозначает плюс, 1 - минус.

Оставшиеся 7 бит 1-го байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы (24 разряда).

В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. Значит, машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (в десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительным и отрицательным значениями порядка: от -64 до 63.

Машинный порядок смещен относительно математического и имеет только положительные значения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению порядка соответствовал нуль.

Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:

Мр = р + 64

Полученная формула записана в десятичной системе. В двоичной системе формула имеет вид: Mp₂=p₂+1000000₂

Для записи внутреннего представления вещественного числа необходимо:

1) перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами;

2) нормализовать двоичное число;

3) найти машинный порядок в двоичной системе счисления;

4) учитывая знак числа, выписать его представление в 4-х байтовом машинном слове.

Пример

Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой.

Решение

1) Приведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами: 250.1875₁₀=11111010, 001100000000000000₂.

2) Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,111110100011000000000000*10₂¹⁰⁰⁰. Здесь мантисса, основание системы счисления (2₁₀=10₂) и порядок (8₁₀=1000₂) записаны в двоичной системе.

3) Вычислим машинный порядок в двоичной системе счисления: Mp₂= 1000 + 100 0000 =100 1000.

4) Запишем представление числа в 4-х байтовой ячейке памяти с учетом знака числа:

Шестнадцатеричная форма: 48FA3000.

Пример

По шестнадцатеричной форме внутреннего представления числа в форме с плавающей точкой C9811000 восстановить само число.

Решение 1) Перейдем к двоичному представлению числа в 4-х байтовой ячейке, заменив каждую шестнадцатеричную цифру 4-мя двоичными цифрами:

1100 1001 1000 0001 0001 0000 0000 0000

2) Заметим, что получен код отрицательного числа, поскольку в старшем разряде с номером 31 записана 1. Получим порядок числа: р=1001001₂ -1000000₂=1001₂=9₁₀.

3) Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой с учетом знака числа:

-0,100000010001000000000000 *2¹⁰⁰¹

4) Число в двоичной системе счисления имеет вид: -100000010.001₂.

5) Переведем число в десятичную систему счисления:

-100000010.001₂= -(1*2⁸+1*2¹+1*2^-3)= -258.125₁₀

Варианты заданий

1) Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

2) Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

3) Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

4) Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

Примечание: Для заданий (1-4) вместо Х необходимо подставить свой номер варианта в журнале группы в соответствующей заданию системе счисления.

5) Получить двоичную форму внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке.

6) Получить шестнадцатеричную форму внутреннего представления целого числа 2-х байтовой ячейке.

7) По шестнадцатеричной форме внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке восстановить само число.

8) Получить шестнадцатеричную форму внутреннего представления числа в формате с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке.

9) По шестнадцатеричной форме внутреннего представления вещественного числа в 4-х байтовой ячейке восстановить само число.