Теоретическая часть. Тема: «Системы счисления»

Лабораторная работа №2

Тема: «Системы счисления»

Цель работы:Рассмотреть позиционные системы счисления, а также получить навыки по представлению числовых данных в различных системах счисления.

Порядок выполнения работы

1. Изучить общие понятия, лежащие в основе систем счисления: алфавит, основание.

2. Освоить правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, а также правила выполнения арифметических операций с двоичными числами.

3. Получить навыки представления чисел в машинных двоичных кодах.

Теоретическая часть

Под системой счисления понимается определенный способ записи числа с помощью некоторого алфавита символов a₁, a₂,…, a_n. При этом каждой цифре a_i в записи числа ставится в соответствие определенное количественное значение.

Таблица 1 – Группы систем счисления

Количество цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления (S).

Любое число A в позиционной системе счисления может быть представлено в виде суммы коэффициентов a_i из алфавита данной системы умноженных на степени основания S системы счисления:

A_S=a_na_n-1a_n-2…a₂a₁a₀,a_-1a_-2…a_-m=

=a_n*Sⁿ + a_n-1*S^n-1 + a_n-2*S^n-2 + …a₂*S² + a₁*S¹ + a₀*S⁰ +a_-1*S^-1 + a_-2*S^-2 + … + a_-m*S^-m.

Таблица 2 – Алфавит основных систем счисления

В математике для записи числа используется десятичная система счисления (S=10), ее алфавит состоит из десяти арабских цифр 0, 1, 2,…, 9. Любое число в этой системе счисления можно представить следующим образом:

A₁₀=a_n*10ⁿ + a₁*10¹ + a₀*10⁰+a_-1*10^-1 … + a_-m*10^-m_.

Например, 32,19₁₀=3·10¹+2·10⁰+1·10^-1+9·10^-2.

В аппаратной основе вычислительной техники для физического представления чисел, предназначенных для обработки, используются двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в одном из устойчивых состояний. Одно из этих состояний обозначает цифру 0, а другое – цифру 1. Поэтому наибольшее распространение в ЭВМ получила двоичная система счисления, основание которой S=2. Ее алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Например, двоичное число

10011,01=1·2⁴+0·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2=16+2+1+0,25=19,25₁₀

соответствует десятичному числу 19,25₁₀.

Таблица 3 – Правила двоичного сложения, вычитания и умножения

Для более компактной записи чисел обычно используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода из одной системы счисления в другую:

Правила перевода из одной позиционной системы в другую
1. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Q	осуществляется последовательным делением данного числа на основание Q, до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Число в новой системе (S=Q) будет представлено в виде остатков от деления, записанных начиная с последнего. Например, десятичное число 2210 запишется в двоичной системе следующим образом Остаток 22:2 = 11 (0) 11:2 = 5 (1) 5:2 = 2 (1) 2:2 = 1 (0) 1:2 = 0 (1)   2210=101102.
2. Перевод правильной дроби из десятичной системы счисления в другую систему с основанием Q	осуществляется последовательным умножением ее на основание новой системы счисления. Целая часть полученного числа будет первой цифрой после запятой. Дробную же часть необходимо вновь умножить на Q. Целая часть полученного числа будет следующей цифрой и т. д.
3. Для перевода неправильных дробей в новую систему счисления	необходимо, с помощью рассмотренных выше правил 1 и 2, отдельно выполнить перевод целой и дробной части.
4. Перевод чисел в десятичную систему счисления	осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы счисления, из которой это число переводится.

В восьмеричной системе счисления (S=8) используется восемь цифр 0,1,…,7. Например, переведем число из восьмеричной системы счисления 237,4₈ в десятеричную систему счисления

237,4₈=2·8² + 3·8¹ + 7·8⁰ + 4·8^-1 = 128+24+7+0,5=159,5₁₀.

Переведем число из десятичной системы счисления 75,59₁₀ в восьмеричную систему счисления

Остаток

75:8 = 9 (3)

9:8 = 1 (1)

1:8 = 0 (1)

0,59·8 = 4,72;

0,72·8 = 5,76;

0,76·8 = 6,08, …

Таким образом, 75,59₁₀ = 113,456₈

В шестнадцатеричной системе счисления алфавит состоит из 16 цифр, где первые десять символов обозначаются цифрами от 0 до 9, а далее используются буквенные обозначения: 10 – A, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F. Предложенный алфавит позволяет записать все десятичные цифры от 0 до 15, остальные цифры представляются следующим образом:

Остаток Остаток Остаток

16:16 = 1 (0) 17:16 = 1 (1) 18:16 = 1 (2)

1:16 = 0 (1) 1:16 = 1 (1) 1:16 = 0 (1)

16₁₀=10₁₆ = 1·16¹+0·16⁰; 17₁₀=11₁₆ = 1·16¹+1·16⁰; 18₁₀=12₁₆ = 1·16¹+2·16⁰.

Существует также способ взаимного перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления, благодаря использованию таблицы соответствия чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления (табл.4).

Таблица 4 – Соответствие чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

Например, переведем число 162,37₈ из восьмеричной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления

162,37₈ = 001110010, 011111 ₂,

1 6 2 3 7

01110010, 01111100 ₂ = 72,7C₁₆

7 2 7 C

Получаем, 162,37₈ = 1110010,011111₂ = 72,7C₁₆