Дифракция Фраунгофера от одной щели.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру щели. Ширина dx каждой зоны выбирается таким образом, чтобы разность хода от краев зон была равна λ/2. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом φ, соберутся в точке экрана В. Возмущение, вызванное каждой зоной Френеля в плоскости щели, описывается уравнением

, (19.2.1)

где С - постоянная величина.

Амплитуда колебания, возбуждаемого зоной Френеля в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны dx. Следовательно, амплитуда колебания dE, возбуждаемого зоной ширины dx в любой точке экрана, имеет вид

. (19.2.2)

Тогда результирующая амплитуда А_о будет определяться как алгебраическая сумма амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами Френеля. Ее можно найти, проинтегрировав dA по всей ширине щели b:

Отсюда и, следовательно,

(19.2.3)

Оптическая разность хода Δ между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении φ,

, (19.2.4)

где F - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на луч ND, x - ширина элементарной зоны Френеля

Если фазу колебания, возбуждаемого элементарной зоной, примыкающей к левому краю щели (х = 0), положить равной , то фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой х, будет равна

где λ - длина волны в данной среде.

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой х в точке В, положение которой на экране определяется углом φ, может быть представлена в вид

(19.2.5)

Вследствие когерентности возмущений от всех зон Френеля нахождение результирующей амплитуды в произвольной точке В сводится к решению задачи интерференции, т.е. сложению влияний всех зон Френеля с учетом амплитуды и фазы. Поэтому проинтегрируем выражение (5) по всей ширине щели, т.е. от нуля до b:

Модуль выражения, стоящего в квадратных скобках, дает амплитуду А_φ результирующего колебания в точке D, положение которой определяется углом φ:

(19.2.6)

При значения φ, удовлетворяющих условию: , т.е. в случае, если

(к = 1,2,3,....) (19.2.7)

амплитуда А_φ обращается в нуль. Таким образом, условие (19.2.7) определяет положение минимумов интенсивности.

Если для точки В разность хода Δ равна число зон Френеля будет нечетным, действие одной из них окажется не компенсированным и наблюдается максимум интенсивности, т.е.

(19.2.8)

Уравнение (19.2.8) называется условием дифракционного максимума от одной щели. В направлении φ = 0 щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т.е. в точке В_о наблюдается центральный дифракционный максимум.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, в соответствии с уравнением (19.2.6)

(19.2.9)

где I₀ - интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы) I_φ - интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением ф. Из формулы (19.2.9) получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. При смещении щели параллельно экрану (вдоль оси х) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы). Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции (дифракционный спектр), приведено на рис. 19.2.,б.

Сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а интенсивность уменьшается, и, наоборот, чем щель шире ( ), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При вцентре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет место прямолинейное распространение света.

Центральный максимум будет расположен в точке В_о против центра щели. По обе стороны от него интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем подымятся до следующего максимума и т.д., как это показано на рисунке 19.2. На экране Э будут наблюдаться перемежающиеся светлые и темные полосы с постепенными переходами между ними. Центральная полоса будет наиболее яркой, а освещенность боковых максимумов будет убывать от центра к периферии.