Булева алгебра и логические схемы компьютера

Логический элемент компьютера — это часть электронной схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, НЕ-И, НЕ-ИЛИ и другие (называемые обычно вентилями), а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. В логических схемах производится преобразование информации, причем обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов для входных сигналов и один или два выхода с которых снимаются выходные сигналы.

Чтобы описать схемы, которые строятся путем сочетания различных вентилей используется алгебра (алгебра логики) в которой все переменные и функции могут принимать только два значения: 0 и 1. Булева алгебра названа в честь английского математика Джорджа Буля (1815-1864). Алгебра логики оперирует с высказываниями. Высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно утверждать, истинно оно или ложно. Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются логические операции, выражаемые словами «не», «и», «или».

На структурных схемах ЭВМ каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности булевой алгебры.

Логические операции. Рассмотрим логические операции и соот­ветствующие им элементы логических схем.

Конъюнкция. Соединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И (AND) называется операцией логического умножения, или конъюнкцией. Эту операцию принято обозначать знаками «^, &» или знаком умножения «х». Сложное высказывание А & В истинно только в том случае, когда истинны оба входящих в него высказывания. Истинность такого высказывания задается табл. 1.15.

Таблица 1.15. Таблица истинности конъюнкции

Логическая схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных диаграммах схемы И с двумя входами представлено на рис. а).

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет нуль, на выходе также будет нуль.

Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением: z = х & у (читается как «х И у»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&».

Схемные логические элементы вычислительных машин

Дизъюнкция. Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза ИЛИ (OR) называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией. Эту операцию обозначают знаками «|, v» или знаком сложения «+». Сложное высказывание AvВ истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний.

Таблица истинности для логической суммы высказываний

В последнем столбце табл. размещены результаты модифицированной операции ИЛИ — ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (XOR). Отличается от обычного ИЛИ последней строкой (см. также рис. в, г).

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на ее выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис.б). Знак «1» на схеме — от классического обозначения дизъюнкции как «³1» (т. е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением: z = x Ú у (читается как «х ИЛИ .у»).

Инверсия. Присоединение частицы НЕ (NOT) к некоторому высказыванию называется операцией отрицания (инверсии) и обозначается `А (или А). Если высказывание А истинно, то В ложно, и наоборот (таблица).

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = х, где х читается как «НЕ х» или «ИНВЕРСИЯ х».

Если на входе схемы «0», то на выходе «1», и наоборот. Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рис. в).

Вентили. Кроме схемных элементов, соответствующих перечисленным логическим операциям, в состав логических схем входят комбинированные связки, например следующие.

Схема НЕ-И состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И (табл. ). Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают как х& у, или «ИНВЕРСИЯ х И у». Условное обозначение на структурных схемах схемы И—НЕ с двумя входами представлено на рис. г).

Таблица истинности схемы НЕ-И