Расчет зубьев цилиндрической прямозубой передачи на изгиб

По международному стандарту ISO / DIS 6336: (Ausgabe 1986) по расчету зубчатых передач предусмотрены четыре метода расчета зубчатых передач.

Метод А – экспериментально – исследовательский требует точных измерений, обширного и трудоёмкого математического анализа или обоснования на основе надежного эксплуатационного эксперимента на подобных приводах. При этом предел выносливости и эквивалентное окружное усилие или коэффициент внешней динамики – К_А определяется из полученного измерением коллектива нагрузок с использованием гипотез накопления повреждений. Поскольку величина К_А может принять весьма большие значения от 1 до 2 и более, то применяемый метод расчета и величина К_А должны согласовываться между изготовителем и покупателем редуктора. Как видим, метод очень дорог и применяется крайне редко.

Метод В - экспериментально- теоретический и производится на основе исследования предела выносливости зубчатого колеса – представителя, считается целесообразным для зубчатых передач массового производства.

Метод С - приближенный, при этом аналитический расчет производится на основе комплексных данных стандарта или справочной технической литературы.

Метод D – упрощенный, примерно соответствует приводимому расчету данного раздела.

Необходимо заметить, что метод расчета зубчатых передач по ГОСТу 21354-87 занимает промежуточное положение между методами С и D. В методе С коэффициент формы зуба при расчете на изгиб рассматривается как произведение двух переменных

Ниже излагается упрощенный метод расчета зуба на изгиб, осно­ванный на положениях сопротивления материалов.

На рис. 34 показаны схема зацепления двух зубьев в полюсе и силы, действующие на зубья колес со стороны шестерни; трение не учитывается. Нормальная сила F_n раскладывается на две составляющие: окружную силу F_t и радиальную или распорную — F_r.

Рис. 34. Усилия в зацеплении прямозубой цилиндрической передачи

При выводе формул принимают следующие упрощения и допущения: зуб рассматривают как консольную балку прямоугольного сечения, работаю­щую на изгиб и сжатие; вся нагрузка, действующая в зацеплении, переда­ется одной парой зубьев и приложена к их вершинам; нагрузка равномерно распределена по длине зуба .

На рис.35 показан профиль балки равного сопротивления (s — тол­щина зуба в опасном сечении; l — плечо изгибающей силы; — длина зуба; F_n — нормальная сила, действующая на зуб).

Рис.35. Схема расчета зубьев на изгиб

Определим силы в опасном сечении корня зуба. Разложим силу F_n в точке А на две составляющие: F_t' и F'_r, условно принимаем, что сила F_n приложена только к одному зубу (перекрытием пренебрегаем), а сила F_t равна окружной силе на начальной окружности.

Сила F_t' изгибает зуб, а сила F'_r сжимает его. Из рис. 35 находим

;

где — угол направления нормальной силы F_n, приложенной у вершины, который несколько больше угла зацепления ; — нормаль­ная сила.

Исходя из изложенного выше, за расчетное напряжение принима­ют напряжения на растянутой стороне зуба:

(1)

Для опасного сечения ВС условие прочности

(2)

где — напряжение изгиба в опасном сечении корня зуба; W — осевой момент сопротивления; — площадь сечения ножки зуба.

Выразим I и s в долях модуля зубьев: l= km; s = cm, где к и с — коэффи­циенты, зависящие от формы зуба, т.е. от угла и числа зубьев Z.

Тогда изгибающий момент в опасном сечении

осевой момент сопротивления прямоугольного сечения зуба

(3)

Подставим в формулу (2) входящие в него параметры М_И и W, введем коэффициенты расчетной нагрузки (табл. 6), (табл. 7) и теоре­тический коэффициент концентрации напряжений К_Т.

В результате получим окончательную формулу проверочного расчета прямозубой передачи на усталость при изгибе

(4)

где Y_F — коэффициент учитывающий форму зуба и концентрацию напря­жений (табл. 8).

Таблица 6. Значение коэффициентов и

Расположение шестерни отно­сительно опор	Твердость НВповерхностей зубьев колеса	при	при
0,2	0,4	0,6	0,8	1,2	1,6	0,2	0,4	0,6	0,8	1,2	1,6
Консольное(опоры — шари­коподшипники)	До 350 Св. 350	1,16 1,33	1,37 1,70	1,64				1,08 1,22	1,17 1,44	1,28
Консольное(опоры — роли­коподшипники)	До 350 Св. 350	1,10 1,20	1,22 1,44	1,38 1,71	1,57			1,06 1,11	1,12 1,25	1,19 1,45	1,27	-
Симметричное	До 350 Св. 350	1,01 1,02	1,03 1,04	1,05 1,08	1,07 1,14	1,14 1,30	1,26	1,011,01	1,021,02	1,03 1,04	1,04 1,07	1,07 1,16	1,10 1,26
Несимметричное	До 350 Св. 350	1,05 1,09	1,10 1,18	1,17 1,30	1,25 1,43	1,42 1,73	1,61	1,03 1,06	1,05 1,12	1,07 1,20	1,12 1,29	1,19 1,48	1,28 -

Таблица 7.Значение коэффициентов и

Степень точности передачи	Твердость НВповерхности зубьев колеса	при окружной скорости, м/с
	До 350   Св. 350	1,08/1,03 (1,04/1,02) 1,03/1,01 (1,03/1,00)	1,16/1,06 (1,07/1,03) 1,05/1,02 (1,05/1,01)	1,33/1,11 (1,14/1,05) 1,09/1,03 (1,09/1,02)	1,50/1,16 (1,21/1,06) 1,13/1,05 (1,14/1,03)	1,62/1,22 (1,29/1,07) 1,17/1,07 (1,19/1,03)	1,80/1,27 (1,36/1,08) 1,22/1,08 (1,24/1,04)
	До 350   Св. 350	1,10/1,03 (1,04/1,01) 1,04/1,01 (1,03/1,01)	1,20/1,06 (1,08/1,02) 1,06/1,02 (1,06/1,01)	1,38/1,11 (1,61/1,04) 1,12/1,03 (1,10/1,02)	1,58/1,17 (1,24/1,06) 1,16/1,05 (1,16/1,03)	1,78/1,23 (1,32/1,07) 1,21/1,05 (1,22/1,04)	1,96/1,29 (1,40/1,08) 1,26/1,08 (1,26/1,05)
	До 350   Св. 350	1,13/1,04 (1,05/1,01) 1,04/1,01 (1,04/1,01)	1,28/1,07 (1,10/1,03) 1,07/1,02 (1,07/1,01)	1,50/1,14 (1,20/1,05) 1,14/1,04 (1,13/1,02)	1,72/1,21 (1,30/1,07) 1,21/1,06 (1,20/1,03)	1,98/1,28 (1,40/1,09) 1,27/1,08 (1,26/1,04)	2,25/1,35 (1,50/1,12) 1,34/1,09 (1,32/1,05)

Примечание. В числителе — значения для прямозубых колес, в знаменателе — для косозубых.

Таблица 8.Коэффициент -для эвольвентного наружного зацепления при a_w = 20° (при х = О)

Число зубьев		Число зубьев		Число зубьев
	4,26		3,81		3,62
	4,07		3,79		3,60
	3,98		3,75		3,60
	3,92		3,70		3,60
	3,88		3,66		3,60
			3,65	Рейка	3,63

Примечание. Выбор коэффициента можно производить по графику.

Выведем формулу проверочного расчета прямозубых передач на уста­лость при изгибе через вращающий момент Т₂..

С учетом того, что ; формула проверочного расчета (4) примет вид

(5)

где , ,МПа; m, мм; T₂ — вращающий момент на колесе, Нмм; Z₁ — число зубьев шестерни; — коэффициент длины зуба (ширины венца) по делительному диа­метру (табл. 9).

Таблица 9.Рекомендуемые значения коэффициента

в зависимости от твердости рабочих поверхностей зубьев

Расположение колес относи­тельно опор	или
Симметричное	0,8-1,4	0,4-0,9
Несимметричное	0,6-1,2	0,3-0,6
Консольное	0,3-0,4	0,2-0,25

Из формул (5) и (6) получаем формулы проектировочного рас­чета на изгиб

(6)

(7)

(8)

где K_m = 1,4 для прямозубых колес.

В формулу (8) подставляют меньшее из двух отношений ,вы­численных для шестерни и колеса.

Выбор допускаемых напряжений изгиба. Выше отмечалось, что при­чиной поломки зубьев, как правило, является усталость материала под дейст­вием повторных переменных изгибающих напряжений. Поэтому значения допускаемых напряжений должны быть определены исходя из предела вы­носливости зубьев. Допускаемое напряжение изгиба определяют по формуле

, (9)

где — базовый предел выносливости зубьев при отнулевом цикле изменения напряжений (табл. 10); S_F — коэффициент безопасности (S_F = 1,7 ÷ 2,2; S_F> 2,2 — для литых заготовок); Y_R — коэффициент, учиты­вающий шероховатость поверхности зуба (Y_R= 1,05 ÷ 1,2 — при полирова­нии, в остальных случаях Y_R= 1); K_FC — коэффициент, учитывающий влия­ние двустороннего приложения нагрузки (K_FC= 1,0 — при одностороннем приложении нагрузки, изгибающей зуб; K_FC= 0,65 — для нормализованных сталей, K_FC=0,75 — для закаленных сталей с твердостью свыше HRC45; K_FC = 0,9 — для азотированных сталей); K_FL — коэффициент долговечности.

Таблица 10.Приближенные значения пределов выносливости при изгибе зубьев

, МПа	Твердость зубьев HRС	Сталь	Способ термиче­ской или хими­ко-термической обработки
Поверх­ность	Сердцеви­на
1,8HBСР	НВ 180-300	Углероди­стая или легтированная	Отжиг, нормализа­ция или улучшение
550-600	HRC 45-55	Легирован­ная	Объемная закалка
750-850	48-58	30-45	Поверхностная за­калка
750-850	56-62	32-45	Цементация и нит-роцементация
300 + 1,2HRC (сердцевины зуба)	50-60	24-40	Азотирование

В зависимости от твердости активных поверхностей зубьев коэф­фициент долговечности Y_N определяется по следующим формулам:

K_FL = при НВ≤ 350, (10)

K_FL = при НВ ≥ 350, (11)

где — число циклов соответствующее точке перелома кривой усталости; N_F — расчетная циклическая долговечность;

, (12)

где — частота вращения (угловая скорость) шестерни или колеса, об/мин (рад/с); с — число колес, находящихся в зацеплении с рассчиты­ваемым колесом; — продолжительность работы зубчатой передачи за рас­четный срок службы, ч;

, (13)

где L_Г — срок службы передачи, год; С — число смен; t_c — продолжитель­ность смены, ч; k_Г — коэффициент годового использования привода; k_с — коэффициент использования привода в смене.

Формула (12) приемлема для определения расчетной циклической долговечности только при постоянном режиме нагрузки.

При выборе материала для зубчатой пары с целью сокращения номенк­латуры, как правило, назначают одинаковые материалы. Разность значений твердостей для шестерни и колеса достигается их термической обработкой. Получение нужных механических характеристик зависит не только от тем­пературного режима обработки, но и от размеров заготовки.

При переменном режиме нагрузки расчетная циклическая долговеч­ность определяется по формуле:

,(14)

где K_FE — коэффициент приведения переменного режима нагрузки к по­стоянному эквивалентному режиму:

(15)

где T_max, Т_i — максимальные и промежуточные значения моментов; коэф­фициент m_F = 6 — при нормализации и улучшении; m_F=9 — при закалке; t_i — продолжительность (в часах) действия момента Т_i; — суммарная про­должительность работы зубчатой передачи.