Задачи для самостоятельного решения. № 1.41. Какое множество имеет большую мощность: а) множество натуральных чисел или множество четных чисел?

№ 1.41. Какое множество имеет большую мощность: а) множество натуральных чисел или множество четных чисел? б) множество четных чисел или множество простых чисел?

№ 1.42 Установить эквивалентность между множеством натуральных чисел N и множеством .

№ 1.43 Показать, что мощность всякого произвольного множества больше или равна мощности всех чисел натурального ряда.

№ 1.44. Установить взаимно-однозначное соответствие между множествами всех рациональных чисел на отрезках (0; 1) и (0; ).

№ 1.45. Установить эквивалентность между множеством всех положительных рациональных чисел и множеством натуральных чисел.

№ 1.46. Задана система числовых множеств:

………………………..

.

Определить мощность множества .

№ 1.47. Является ли множество {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)} бинарным отношением. Почему?

№ 1.48. Выписать элементы множества {0, 1, 2}´{a,b}. Найти область определения и область значений этого отношения, построить его график.

№ 1.49. Показать на примере, что операция образования декартового произведения не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

№ 1.50. Доказать, что декартово произведение дистрибутивно относительно операции объединения, т.е. что для любых множеств А, В и С .

№ 1.51. Пусть b - отношение “есть брат”, j - отношение “есть сестра”. Описать отношения

№ 1.52. Является ли отношение “быть рядом” транзитивным?

№ 1.53. Задано бинарное отношение на множестве М={1,2,3,4}. Является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? Почему? Найдите область определения d_R, область зна-чений r_R, обратное отношение R^-1, пересечение и объединение R и R^-1.

а) R={(1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (3,3), (4,1), (4,4)};

б) R={(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,3), (4,4)};

в) R={(1,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)};

г) R={(1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,3), (3,3), (4,4)};

д) R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)};

е) R={(1,1), (1,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,4)};

ж) R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,4), (4,4)};

з) R={(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3), (4,3)};

и) R={(1,4), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)};

к) R={(2,1), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1)}.

№ 1.54 Найти область определения, область значений, построить график каждого из следующих отношений:

а)

б)

в) и

г)

д)

е)

№ 1.55 Доказать, что если:

а) и то

б) и то

в) то

№ 1.56. Доказать, что множество всех окружностей (на плоскости), радиусы которых рациональны и центры которых имеют рациональные координаты, есть счетное множество.

№ 1.57. Доказать, что множество всех четырехугольников (на плоскости), вершины которых имеют целые координаты, есть счетное множество.

№ 1.58. Доказать, что множество всех точек плоскости, обе координаты которых есть двоичные дроби, есть счетное множество.

№ 1.59. На улице есть 30 домов, пронумерованных обычным способом: нечетные номера с одной стороны, а четные с другой стороны. Пусть h_n обозначает жителя, живущего в доме с номером n. Описать при помощи символов отношение N на множестве жителей такое, что h_i находится в отношении N к h_j, если они являются соседями.

Как будет выглядеть N, если улица является тупиком?

№ 1.60. Доказать, что любое отношение эквивалентности порождает такое разбиение, что для любых х, у А или [x]1=[y], или [x] [y]= .

№ 1.61. Если {A₁, A₂, … , A_n} – разбиение А и А конечное, показать, что

.

№ 1.62. Пусть А –произвольное множество и r - отношение на множестве , определенное следующим образом: тогда и только тогда, тогда . Является ли отношением порядка?

1.63. Докажите справедливость соотношения

.

1.64. Проиллюстрируйте диаграммой Венна следующие разбиения множества I:

а)

б)

в)

1.65 Каковы свойства соответствия между множеством N натуральных чисел и множеством А степени числа 2:

1.66 Является ли функция f(x)=2x, имеющая тип N®N, отображением, и если – да, то каким? Имеет ли функция f обратную функцию f^-1, и если – да , то является ли f^-1 отображением?

1.67 Чему равна композиция функций f(x) и g(x), если:

а) f(x)=2x и g(x)= ;

б) f(x)=x³ и g(x)= ;

в) f(x)=2^x и g(x)=x+1?

Каковы области определения функций и их композиций?

1.68 Найти композицию преобразований:

.

1.69 Пусть множества b(I), где I={a, b, c} A₃ определены следующим образом: b(I) – множество всех подмножеств (булеан) множества I={a, b, c}; А₃ – множество всех двоичных векторов длины 3, т.е. А₃=В´В´В, где В={0, 1}.

Показать, что между множествами b(I) и А₃ имеет место взаимно однозначное соответствие.

№ 1.70. График функции представляет собой ломанную, звенья которой параллельны координатной оси, либо биссектрисам координатных углов. Координаты каждой вершины ломанной являются целыми числами. Функция определяет отношение R_f на множестве Х=[0, 5]. xR_fy f(x)=f(y) ( т.е. x y находится в отношении R_f с y тогда и только тогда, когда f(x)=f(y). Докажите, что R_f –эквива-лентность на Х. Перечислите все классы эквивалентности.

а) б)

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)