Задача 8. Найти амплитуду А и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний

Найти амплитуду А и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями х₁ = х₁(t) и х₂ = х₂(t). Написать уравнение результирующего колебания.

Вариант	х1 = х1(t), см	х2 = х2(t), см
	х1 = 4 cos( 2pt + )	х2 = 3 cos( 2pt + )
	х1 = 2 cos( pt + )	х2 = 1 cos( pt + )
	х1 = 3 cos( 3pt + )	х2 = 6 cos( 3pt + )
	х1 = 1,5 cos( pt + )	х2 = 4,5 cos( pt + )
	х1 = 2,5 cos( 4pt + )	х2 = 5 cos( 4pt + )
	х1 = 3,5 cos( t + )	х2 = 1 cos( t + )
	х1 = 1 cos( 2pt + )	х2 = 3,5 cos( 2pt+ )
	х1 = 5 cos( pt + )	х2 = 2,5 cos( pt + )
	х1 = 4,5 cos( 2pt + )	х2 = 1,5 cos( 2pt + )
	х1 = 6 cos( t + )	х2 = 2,6 cos( t + )

Пример 1.Движение материальной точки массой 10 кг задано уравнением , где А= 4 м/с, В = – 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость u точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Вычислите перемещение точки и значение силы, действующей на точку в этот момент.

Дано: ; м/с; – 0,05 м/с².

Найти: 1) t ; 2) x; 3) a; 4) Dr; 5) F.

Решение:Материальная точка совершает одномерное, прямолинейное движение вдоль оси x, уравнение которого имеет вид:

Мгновенная скорость материальной точки – есть первая производная от координаты по времени

Определим момент времени t, в который скорость точки равна нулю:

,

,

,

.

Подставим числовые значения

с.

Определим координату в момент времени t= 40 c:

м.

Перемещение точки Dr_х = х – х₀. Dr_х = 80 – 0 = 80 м. х₀ = 0 – координата точки в момент времени t₀ = 0. Dr = 80 м.

Мгновенное ускорение материальной точки – есть первая производная от проекции скорости на ось x по времени

Выполним вычисления:

– 0,1 м/с²; а = 0,1 м/с².

Сила определяется по второму закону Ньютона: F = ma. Вычислим значение силы F = 10×0,1 = 1 Н.

Ответ:t = 40 c; x = 80 м;а = 0,1 м/с²; Dr = 80 м; F = 1Н.

Пример 2. Диск радиусом r = 20 см вращается согласно уравнению где ; ; . Определить тангенциальное , нормальное и полное a ускорения точек на окружности диска для момента времени с.

Дано: ; ; ; ; см = 0,2 м ; с.

Найти:

Решение:В задаче дано уравнение движения диска в проекции на ось вращения

Угловая скорость диска

Угловое ускорение диска

.

Связь между линейной и угловой скоростями

Тогда линейная скорость диска

Выполним вычисления для момента времени с:

u =( – 1+3·0,1·10²)·0,2 = 5,8 м/с.

Связь между тангенциальным и угловым ускорениями e

.

Тогда

Выполним вычисления для момента времени с:

м/с².

Модуль нормальной составляющей ускорения

.

Произведем вычисления :

м/с².

Модуль полного ускорения a

Выполним вычисления а:

м/с².

Ответ: м/с² ; м/с²; м/с².

Пример 3. Горизонтальная платформа массой кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой . Человек массой стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если человек перейдёт от края платформы к её центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – материальной точкой.

Дано: кг; кг; мин ^–1= с ^–1.

Найти:

Решение: Воспользуемся законом сохранения момента импульса относительно оси Z: или

Рассмотрим два случая:

а) человек на краю платформы

, где – угловая скорость платформы и человека в первом случае.

, где R – радиус платформы.

б)человек в центре платформы

, где – угловая скорость платформы и человека, после того как он перешёл в центр платформы.

Согласно закону сохранения момента импульса

Тогда

Сократим на и учтём, что :

Выразим

.

Выполним вычисления:

рад/с².

Ответ: рад/с².

Пример 4.Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением р₁ = 0,15 МПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема V₂ = 1,3 м³, а затем его давление возросло до р₃ = 0,21 МПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса в осях (р;V).

Дано: m = 2 кг; М = 0,032 кг/моль; V₁ = 1 м³, V₂ = V₃ = 1,3 м³;

р₁ = р₂ = 0,15 МПа, р₃ = 0,21 МПа.

Найти: , , .

Решение. Изменение внутренней энергии газа выражается формулой

.

В данном случае . , (1)

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5 ).

Температуры газа в каждом состоянии найдем, используя уравнение Менделеева – Клапейрона

.

Отсюда .

Подставим численные значения параметров каждого из трех состояний

Т₁ = 289 К;

Т₂ = 375 К;

Т₃ = 526 К.

Подставляя в выражение (1) числовые значения находим

DU = 307,7 кДж.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой A = p(V₂ – V₁). Используя уравнениеМенделеева – Клапейрона, получим .

Работа газа при равна нулю.

.

Таким образом, полная работа, совершаемая газом, равна

А = А₁₂ = 44,7 кДж.

Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы А: , следовательно,

Q = 307,7 кДж + 44,7 кДж = 352,4 кДж = 0,35 МДж.

График процесса в осях (p;V) приведен на рисунке.

р, МПа

0,21 3

0,15 1 2

0 1 1,3 V, м³

Пример 5. Электрическое поле создано зарядами нКл и нКл, находящимися на расстоянии 10 см. Определить напряжённость и потенциал поля в точке, удалённой от первого заряда на 12 см, а от второго на 6 см.

Дано: нКл = Кл; нКл = Кл;

; см = 0,12 м; см = 0,6 м.

Найти:

Решение: В соответствии с условием задачи изобразим вектора напряжённостей, созданные зарядами Q₁ и Q₂ в точке А (рис.):

А

Рис.

Согласно принципу суперпозиции

Используя теорему косинусов, перейдём от векторной формы к скалярной:

(1)

Напряжённость электрического поля, создаваемого точечными зарядами и на расстояниях и , соответственно равны:

так как

Определим значение из треугольника со сторонами , , d, используя теорему косинусов (рис.):

Таким образом,

Произведём расчёт :

Н/Кл,

Н/Кл.

Для расчёта результирующего значения напряжённости Е подставим значения в формулу (1):

Н/Кл.

Так как поле создаётся двумя точечными зарядами, то потенциал в рассматриваемой точке следует искать методом суперпозиции. В соответствии с этим

где – потенциалы в рассматриваемой точке, созданные зарядами и соответственно.

Используя формулу потенциала поля, создаваемого точечным зарядом, получим:

Выполним вычисления:

В.

Ответ: Н/Кл, =1500 В.

Пример 6. Три источника тока с ЭДС В, В, В и внутренними сопротивлениями Ом и три реостата с сопротивлениями Ом, Ом, Ом соединены, как показано на рисунке. Определить силу тока в реостатах.

Дано: В; В; В; Ом; Ом;

Ом; Ом.

Найти:

Решение:

Рис.

Силы токов в разветвленной цепи можно определить с помощью правил Кирхгофа. Для этого необходимо составить три уравнения. Перед составлением уравнений необходимо:

а) выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже;

б) выбрать направления обхода контуров.

В нашем случае направление токов выберем как на рисунке и обходы контуров по часовой стрелке.

Воспользуемся первым правилом Кирхгофа, учитывая что, ток подходящий к узлу входит в уравнение со знаком “+”, а ток отходящий из узла – со знаком “–” .

Для узла А

,

или

(1)

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа учитываем следующие правила знаков:

1) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением

обхода контуров, то соответствующее произведение входит в уравнение со знаком “плюс”, иначе – со знаком “минус”;

2) если при обходе контура приходится идти от “–” к “+” внутри

источника тока, то соответствующая входит в уравнение со знаком “плюс”, иначе – со знаком “минус”.

Для контуров

1) ACDBА:

, (2)

2) CDFEС:

. (3)

Подставив значения в соотношения (1), (2) и (3), получим систему уравнений:

.

Решим эту систему с помощью определителей. Для этого запишем её в виде:

Искомые токи найдем по формулам:

; ;

Найдем определители :

Таким образом

А; А; А.

Знак “минус” у тока говорит о том, что направление тока на рисунке было указано противоположно истинному, т.е. ток идет от узла B к узлу A.

Ответ: ; ; .

Пример 7. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут токи I₁ = I₂ = А одного направления, расположены на расстоянии см друг от друга в вакууме. Определить индукцию магнитного поля в точке, отстоящей от одного проводника на расстояние см и от другого на см.

Дано: А; см = 0,1 м; см = 0,05 м;

см = 0,12 м.

Найти: B.

Решение: Для нахождения индукции магнитного поля в указанной точке А (рис.) определим направления векторов индукций и полей, создаваемыхкаждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически (по правилу параллелограмма):

Сделаем рисунок. Выберем направление токов в проводниках «от нас» Ä. Направление векторов и определяем по правилу правого винта (правило правой руки): вращая винт с правой нарезкой по направлению линии магнитной индукции, его поступательное движение укажет направление силы тока.

I₁ I₂

Рис.

Абсолютное значение индукции В найдём по теореме косинусов:

(1)

где – угол между векторами и , равный углу между радиус–векторами и , как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током определяется формулой:

где = 1 (среда – вакуум).

Тогда от двух рассматриваемых проводников магнитные индукции соответственно равны:

и

Подставляя значения и в формулу (1) и вынося за знак корня, получим:

(2)

Вычислим , используя, что . Согласно теореме косинусов запишем:

Отсюда

Подставляя данные, вычислим значение :

Вычислим согласно формуле (2) магнитную индукцию поля в точке А:

=308мкТл.

Ответ: мкТл.

Пример 8. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями , где 1 см, 2 см, 1/6 с, 1/2 с, Определить:

1) начальные фазы составляющих колебаний;

2) амплитуду и начальную фазу результирующего колебания;

3) записать уравнение результирующего колебания.

Дано: ; ;

1 см = 0,01 м; 2 см = 0,02 м; 1/6 с; 1/2 с; .

Найти: 1) ; 2) А, j₀; 3) х = х(t).

Решение: 1) Уравнение гармонического колебания

(1)

Для данных гармонических колебаний:

, (2)
. (3)
Сравнив (2) и (3) с (1) получим:

Выполним вычисления:

Для определения и результирующего колебания построим векторную диаграмму (рис.).

Для гармонического колебания : м; рад.

Для гармонического колебания : м; рад.

Амплитуда результирующего колебания является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и

По теореме косинусов

Рис.

Выполним вычисление амплитуды результирующего колебания:

м.

Так как

то

Выполним вычисления начальной фазы результирующего колебания:

рад.

Так как частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту, и уравнение этого колебания будет иметь вид:

Ответ: м; рад;