Расчет прочности изгибаемых элементов по нормальным сечениям

Наиболее распространенными железобетонными изгибаемыми элементами являются балки и плиты различного вида. В общем случае они рассчитываются по 1-ой группе предельных состояний на прочность и по 2-ой группе - на пригодность к нормальной эксплуатации, т.е. на отсутствие чрезмерных перемещений и на ограниченную ширину раскрытия трещин. Прежде чем перейти к рассмотрению методов их расчета, необходимо определить предмет расчета, т.е. те сечения в изгибаемых элементах, прочность которых определяет прочность всей конструкции и обеспечивает ей необходимую безопасность. Рассмотрим железобетонную балку на двух опорах, нагруженную симметрично двумя, одинаковыми по величине, сосредоточенными силами (рис.3.1). Известно, что между точками приложения сил такая балка испытывает состояние чистого изгиба (поперечная сила равна нулю), а на участках между опорами и точками приложения сил действует изгибающий момент и поперечная сила постоянной величины. Представим себе возможные схемы разрушения балки на первом и вторых участках. В середине балки при увеличении нагрузки в нижней зоне будет преодолена

Рис.3.1. Напряженное состояние и схемы разрушения железобетонной балки:

а – эпюра изгибающих моментов и поперечных сил; б – траектории главных растяги-

вающих напряжений и схема образования трещин; в – схема возможного разрушения

балки; г – сечение с одиночной арматурой; д – сечение с двойным армированием;

1 – продольная арматура; 2 – отгибы; 3 – хомуты; 4 – монтажная арматура

прочность бетона на растяжение, образуется трещина по нормали к продольной оси балки, затем в работу по восприятию момента вступит арматура, а при дальнейшем увеличении нагрузки произойдет разрыв арматуры и балка разрушится. Из этого следует, что необходимо проверять прочность железобетонной балки по нормальному сечению на действие изгибающего момента. На участках между опорами и точками приложения сил, благодаря действию поперечной силы при увеличении нагрузки будут образовываться косые трещины, и разрушение балки может произойти по этой наклонной трещине. Следовательно, при действии поперечных сил требуется проверка прочности железобетонного изгибаемого элемента по наклонному сечению.

Рассмотрим сначаламетод расчета прочности изгибаемых железобетонных элементов по нормальным сечениям. Ранее уже отмечалось, что напряженное состояние балки в нормальном сечении при увеличении нагрузки проходит через несколько характерных стадий (рис.3.2).

На первой стадии, напряжения в бетоне невелики и деформации бетона носят упругий характер. Зависимость между деформациями и напряжениями выражается практически прямой линией и эпюры напряжений в сжатой и растянутой зонах можно считать треугольными. При дальнейшем увеличении нагрузки эпюра напряжений в растянутой зоне приобретает криволинейный характер и напряжения приближаются к напряжениям образования трещин.

Рис.3.2. Стадии напряжено деформированного состояния сечения

железобетонной балки при изгибе

На второй стадии происходит появление и раскрытие трещины в растянутой зоне бетона. Вследствие появления трещины, растягивающие напряжения начинает воспринимать арматура. Напряжения в бетоне сжатой зоны не превышают временного сопротивления бетона сжатию. При дальнейшем увеличении нагрузки в сжатом бетоне возникают неупругие деформации, и эпюра сжимающих напряжений приобретает криволинейный характер. Конец второй стадии характеризуется появлением неупругих деформаций в арматуре.

Третья стадия характеризуется предельным состоянием сечения по прочности. При увеличении нагрузки напряжения в арматуре достигают предела текучести и, следовательно, деформации арматуры происходят при постоянной величине нагрузки. При этом, трещина развивается в направлении верхней грани сечения, высота сжатой зоны уменьшается, а напряжения в сжатом бетоне растут и достигают временного сопротивления бетона при сжатии. Это напряженное состояние называется пластическим шарниром и разрушение элемента происходит с пластическими деформациями и не является хрупким. Такое разрушение принято называть исчерпанием несущей способности по первому случаю. Возможен, однако, и другой сценарий разрушения. Если увеличить площадь поперечного сечения растянутой рабочей арматуры, то ее несущая способность может оказаться выше несущей способности сжатой зоны бетона. В этом случае сжатая зона бетона разрушится раньше того, чем напряжения в арматуре достигнут предела текучести, такое разрушение будет хрупким и называется разрушением по второму случаю. Наиболее рациональным способом проектирования железобетонных сечений считается тот при котором одновременно достигается прочность как по арматуре, так и по сжатому бетону, т.е. разрушение происходит по пограничной зоне между первым и вторым случаем. При расчетах в этой стадии криволинейная эпюра напряжений в сжатом бетоне заменяется на прямоугольную, что как показывает экспериментальная проверка, вносит погрешность не более 2%.

Три стадии напряженного состояния являются основой расчета железобетонных изгибаемых элементов. По первой стадии определяется момент образования трещин, по второй рассчитывается ширина раскрытия трещин, по третьей – выполняется проверка прочности сечений.

Прежде чем перейти к расчету нормального сечения вспомним некоторые сведения из курса «Инженерные конструкции», относящиеся к расчетным и нормативным характеристикам материалов. Для бетона, материала обладающего силовой анизотропией, вводятся два различных нормативных сопротивления R_bn– сопротивление осевому сжатию (призменная прочность) и R_btn– сопротивление осевому растяжению. Для арматуры в качестве нормативного сопротивления R_sn принимаются наименьшие контролируемые значения предела текучести, физического или условного, за исключением обыкновенной арматурной проволоки класса В240. Для этой арматуры в качестве нормативного сопротивления принимается величина равная 75% временного сопротивления разрыву. Расчетные сопротивления материалов для предельных состояний получаются делением нормативных сопротивлений на коэффициенты надежности по материалу γ_m. Для бетона это будут коэффициенты надежности при сжатии γ_bcи при растяжении γ_bt. Для стали коэффициент надежности по материалу обозначается символом γ_s.

Расчетные сопротивления бетона для предельных состояний первой группы R_bи R_btснижаются или повышаются путем умножения на коэффициенты условий работы γ_bi, учитывающие особенности бетона, длительность действия нагрузок и их цикличность, условия и стадию работы конструкции, способы изготовления конструкции, размеры поперечного сечения и др. Расчетные сопротивления бетона для предельных состояний второй группы, за исключением случая образования трещины по наклонному сечению, вводятся в расчет с коэффициентом надежности по материалу γ_bс = γ_bt = 1.

Расчетные сопротивления арматуры R_s для предельных состояний первой группы снижаются или повышаются путем умножения на коэффициенты условий работы γ_si, которые учитывают: опасность усталостного разрушения, неравномерность распределения напряжений в сечении, условия анкеровки, прочность бетона и др. Расчетное сопротивление арматуры при расчете по второй группе предельных состояний всегда принимается при коэффициенте надежности по материалу γ_s = 1.

Итак, прочность изгибаемого железобетонного элемента по нормальному сечению рассчитывается по третьей стадии. Условие прочности сечения записывается следующим образом

M ≤ M _сеч , ( 3.1 )

где: M – Расчетный изгибающий момент в данном сечении, M _сеч – несущая способность сечения – момент внутренних сил, обусловленный сопротивлением бетона и арматуры. Рассмотрим вначале наиболее простой случай расчета - расчет прямоугольного сечения с одиночной растянутой арматурой. Основные обозначения и схема приложения сил ясны из рисунка 3.3. Целью расчета, при заданных: классе бетона, площади поперечного сечения арматуры и ее классе и геометрических размерах сечения, является проверка прочности сечения согласно условию (3.1). Т.е. в данном случае решается типичная задача поверочного расчета. Поскольку здесь рассматривается стадия предельного равновесия, напряжения в бетоне и арматуре известны и равны расчетным сопротивлениям материалов. Запишем уравнение равновесия всех сил на горизонтальную ось

R_s A_s - R_b b x = 0, (3.2)

где: A_s - площадь поперечного сечения растянутой арматуры; b - ширина сечения;

x - высота сжатой зоны бетона.

Из этого уравнения вычисляется высота сжатой зоны бетона, величина xявляется единственным неизвестным

x = (R_s A_s)/( R_b b) .(3.3)

Рис. 3.3. Схема усилий в нормальном сечении изгибаемого

элемента с одиночной арматурой в стадии предельгого равновесия.

Остается проверить, выдерживает ли данное сечение действие момента внешних сил. Для этого вычислим несущую способность сечения в виде момента внутренних сил - M_сеч. Этот момент вычисляется двумя равноценными способами: относительно центра тяжести растянутой арматуры

M_сеч = R_b b x (h₀ – 0,5 x),(3.4)

или относительно центра тяжести бетона сжатой зоны

M_сеч = R_s A_s (h₀ – 0,5 x), (3.5)

где: Z_b = h₀ – 0,5 x- плечо внутренней пары сил; h₀ = h – a– рабочая высота сечения;

a – расстояние от центра тяжести растянутой арматуры до грани сечения.

Теперь необходимо определить к какому случаю разрушения, а следовательно и расчета, мягкому или хрупкому относится рассматриваемая задача: к первому или ко второму? Введем понятие “относительная высота сжатой зоны бетона” - ξ,

ξ = x / h₀, (3.6)

Граничная высота сжатой зоны бетона ξ_Rпри которой не происходит его преждевременного хрупкого разрушения определяется по эмпирической формуле

ξ_R = ω / [1 + (R_s / σ_sc,u)(1 - ω/1,1)], (3.7)

где: ω – характеристика сжатой зоны, для тяжелого бетона ω = 0,85 – 0,0008 R_b;

σ_sc,u = 4000 (при благоприятных условиях твердения), размерность кгс/см².

Если относительная высота сжатой зоны бетона меньше или равна граничной, разрушение произойдет по первому случаю, в противном случае наоборот. Поскольку всегда желательно конструировать элемент так, чтобы возможное разрушение начиналось с текучести арматуры, то необходимо стремиться к тому, чтобы относительная высота сжатой зоны бетона была бы меньше или равна ее граничному значению, т.е. чтобы выполнялось условие

ξ ≤ ξ_R. (3.8) Если это условие не выполняется, необходимо либо перейти к более прочному бетону, либо увеличить высоту сечения. Далее, если в поставленной ранее задаче неизвестна также площадь поперечного сечения арматурыA_{s ,} ее значение можно получить из решения системы двух уравнений (3.2) и (3.4) или (3.5), в которых момент внутренних сил в сечении принимается равным действующему изгибающему моменту M_сеч = М. Разрешая эту систему относительно x, получим

x = h₀ - [h₀² - 2М/( R_b b)]^0,5, (3.9)

а затем, из соотношения (3.2) можно определить и A_s. Если сразу искать величину A_s, получим соотношение

A_s = R_b b h₀[1 –(1 –2M/( R_b b h²₀))^0,5]/ R_{s .} (3.10)

Если при этом, нарушается условие (3.8), то необходимо увеличить высоту сечения hили укрепить сжатую зону бетона и повторить расчет. Таким образом, мы подошли к решению более сложной задачи – задачи прямого проектирования, когда необходимо подобрать площадь сечения растянутой арматуры и габариты сечения. В этой задаче четыре неизвестных: высота сечения h, его ширина, b высота сжатой зоны хи площадь поперечного сечения растянутой арматуры A_s. Так как, при рассмотрении равновесия сечения имеется всего два уравнения равновесия, двумя из неизвестных величин необходимо задаться.

Из опыта проектирования известно, что наиболее экономичные решения достигаются тогда, когда относительная высота сжатой зоны находится: для отдельных балок в пределах ξ = 0,3 – 0,4, а для плит ξ =0,1 – 0,15. Обычно, исходя из конструктивных соображений, задаются высотой сечения hи его ширинойb, которые при необходимости уточняются методом последовательных приближений. Величины х и A_s находятся с помощью описанных выше соотношений или с помощью табличного метода.

Табличный метод подбора сечений был разработан для упрощения расчетов, и состоит в следующем. Преобразуем соотношения (3.4) и (3.5) к виду

A_s = M / (η h₀ R_s) , (3.11)

A₀ = М / (R_b b h²₀), (3.12)

где: A₀ = ξ (1 – 0,5 ξ), (3.13)

η = 1 – 0,5 ξ. (3.14)

По этим соотношениям для A₀ и η составлены таблицы в зависимости от величины относительной высоты сжатой зоны ξ. Подбор сечения с помощью таблиц выполняется следующим образом. Из конструктивных соображений задаются шириной сечения b и рекомендованной величиной ξ, затем по величине ξпо таблице находят величину A₀, и далее из соотношения (3.12) вычисляют необходимую рабочую высоту сечения

h₀ = (M / (A₀ R_b b))^0,5 , (3.15)

находят полную высоту h = h₀ + a и округляют ее до унифицированного размера. Сечение арматуры A_s определяется через величину η

A_s = M / (η R_s h₀). (3.16)

Табличным методом можно также воспользоваться и для проверки прочности сечения, с известными высотой, шириной и армированием.

Возможна, однако, еще одна проблема, связанная с проектированием железобетонных изгибаемых элементов, таких как плиты, балки и настилы. Из архитектурных, технологических или иных соображений часто задается ограниченная высота элементов. Если при расчете сечения с одиночной арматурой установлено, что ξ > ξ_R , то не увеличивая высоту сечения можно усилить сжатую зону, либо приняв более прочный бетон, либо постановкой в сжатой зоне арматуры, либо перейдя на тавровое поперечное сечение элемента.

Рассмотрим расчет прямоугольного сечения с двойной арматурой(рис. 3.4).

В данном случае необходимо при заданных параметрах сечения - высоте h, ширине bи заданном моменте внешних сил М определить площади поперечного сечения растянутой A_s и сжатой A^I_sарматуры. Воспользуемся для решения этой задачи принципом независимости действия сил. Вместо одной балки с двойным армированием будем рассматривать две балки: одна балка имеет одиночную растянутую арматуру и сжатую зону бетона предельной высоты, а другая балка имеет сжатую и растянутую арматуру и не имеет бетона вообще. Это означает, что момент внутренних сил складывается из двух составляющих – момента M₁, определяемого сжатой зоной бетона, при отсутствии арматуры в сжатой зоне, и дополнительного момента M₂ , определяемого сжатой арматуройA^I_s. В сумме эти моменты должны быть равны моменту внешних сил

M = M₁ + M₂ , (3.17)

или быть больше его. Соответственно, моменту M₁ соответствует часть растянутой арматуры A_s1, а моменту M₂ – арматура A_s2. Схема приложения сил и геометрия рассматриваемого сечения приведены на рис 3.4. Для определения момента M₁ определяем по формуле (3.7) граничную относительную высоту сжатой зоны бетона ξ_R, по ней высоту сжатой зоны хи по формуле (3.4) момент M₁. Зная момент M₁ по соотношению (3.5) определим A_s1

A_s1 = M₁ / [R_s(h₀ – 0,5 x)], (3.18)

Рис.3.4. Схема усилий в нормальном сечении изгибаемого элемента с двойной арматурой

Затем из (3.17) вычисляем момент M₂ = M – M₁, а по нему из суммы моментов относительно центра тяжести растянутой арматуры получим площадь сечения сжатой арматуры

A^I_s = M₂ / [R_sc(h₀ – a^I)]. (3.19) где: R_sc – расчетное сопротивление арматуры сжатию; a^I - расстояние от центра тяжести сжатой арматуры до ближайшей грани сечения. Далее из условия равновесия сил в проекции на горизонтальную ось получим

A_s2 = A^I_s R_sc / R_s, (3.20)

Осталось определить площадь растянутой арматуры A_s

A_s= A_s1 + A_s2. (3.21)