Сходящееся по вероятности к , при любом законе распреде­ления вероятности результата измерения может служить состоятельной точечной оценкой среднего значения.

Математическое ожидание среднего арифметического

Поэтомусреднее арифметическое при любом законе распре­делениявероятности результатаизмерения является не толь­косостоятельной, но и несмещенной оценкой среднегозна­чения. Этим обеспечивается правильность результата много­кратного измерения.

Точность результата многократного измерения зависит от эффективности оценки среднего значения. Чем она эффектив­нее (чем меньше ее рассеяние), тем выше точность (см. рис. 32). Критерии эффективности могут быть разными. При нор­мальном законе распределения вероятности наиболее попу­лярным является такой показатель эффективности (мера рас­сеяния) , как сумма квадратов отклонений от среднего значе­ния. Чем меньше этот показатель, тем эффективнее оценка. Это позволяет поставить задачу отыскания оценки среднего значения, наиболее эффективной по критерию

Такая задача называется задачей синтеза оптимальной (т.е. наилучшей в смысле выбранного критерия) оценки среднего значения, а метод ее решения, основанный на использовании критерия (12), —методом наименьших квадратов.

Исследуем функцию в левой части выражения (12) на экс­тремум. Она достигает минимума при

После возведения в квадрат и почленного дифференцирова­ния получим

Если в качестве оценки выбрать среднее арифметическое , то равенство

будет выполняться при п ®¥ в силу состоятельности этой оценки. Таким образом,среднее арифметическое является не только состоятельной и несмещенной, но и наиболее эффек­тивной по критерию наименьших квадратов точечной оценкой среднего значения результата измерения.

В качестве точечной оценки дисперсии результата измере­ния по аналогии со средним арифметическим можно было бы взять

При любом законе распределения вероятности результа­та измерения эта оценка является состоятельной, так как при второе слагаемое в правой части стремится к нулю, а первое — к . Но

т.е. такая оценка является смещенной. Несмещенную оценку можно получить, умножив ее на коэффициент

При этот коэффициент стремится к 1, так что несме­щенная точечная оценка дисперсии

при любом законе распределения вероятности результата измерения остается состоятельной. Квадратный корень из нее

называется стандартным отклонением.

Оценив среднее значение Q и среднее квадратическое от­клонение результата измерения, можно, используя вместо этих числовых характеристик точечные оценки и по правилу "трех сигм" проверить, не являются ли некоторые сомнительные значения . ошибочными. Если окажется, что они отличаются от среднего арифметического больше чем на 3 , то их следует отбросить (см. рис. 33). После это­го рассчитываются окончательные значения и .

Пример 15. 15 независимых числовых значений результата измере­ния температуры в помещении по шкале Цельсия приведены во второй графе табл. 8

Таблица 8

i	ti	ti-	(ti- )2	ti-	(ti- )2
	20,42	+ 0,016	0,000256	+ 0,009	0,000081
		+ 0,026		+0,019
		-0,004		-0,011
		+ 0,026		+ 0,019
		+ 0,016		+ 0,009
		+ 0,026		+ 0,019
		-0,014		-0,021
		-0,104		-	-
		-0,004		-0,011
		+ 0,026		+ 0,019
		+ 0,016		+ 0,009
		+0,006		-0,001
		-0,014		-0,021
		-0,014		-0,021
		-0,004		-0,011

i
	20,42	+ 0,016	0,000256	+ 0,009	0,000081
		+ 0,026		+0,019
		-0,004		-0,011
		+ 0,026		+ 0,019
		+ 0,016		+ 0,009
		+ 0,026		+ 0,019
		-0,014		-0,021
		-0,104
		-0,004		-0,011
		+ 0,026		+ 0,019
		+ 0,016		+ 0,009
		+0,006		-0,001
		-0,014		-0,021
		-0,014		-0,021
		-0,004		-0,011

Не допущено ли ошибок приих получении?

Решение. Среднее арифметическое результата измерения

2. При определении стандартного отклонения результаты вспомо­гательных вычислений сведем в третью и четвертую графы табл. 8.

3. Большечем на 3 = 0,099 от среднего арифметического отли­чается восьмое значение. Следовательно, оно является ошибочным и должно быть отброшено.

4. Без восьмого значения*

5. Результаты вспомогательных вычислений при повторном опреде­лении стандартного отклонения сведем в пятую и шестую графы табл. 8.

6. Ни одно из оставшихся значений , не отличается теперь от сред­него арифметического больше, чем на 3 = 0,048. Можно, следователь­но, считать, что среди них нет ошибочных.

• При вычислении среднего арифметического часто приходится уменьшать или увеличивать число слагаемых. Для того чтобы не пов­торять всю процедуру суммирования и не перегружать память вычис­лительных устройств, удобно пользоваться формулой

Универсальный метод отыскания эффективных оценок числовых характеристик любых законов распределения ве­роятности случайных чисел или величин разработан Р.А. Фи­шером. Он называется методом максимального правдопо­добия. Сущность этого метода заключается в следующем.

Многомерная плотность распределения вероятности сис­темы случайных значений р ( ) рассматривает­ся как функция числовых характеристик закона распреде­ления вероятности. Эта функция

называемая функцией правдоподобия, показывает, насколь­ко то или иное значение, каждой числовой характеристики "более правдоподобно", чем другие, функция правдоподо­бия достигает максимума при значениях переменных, явля­ющихся их наиболее эффективными оценками. Последние, следовательно, находятся из условия

что равносильно совместному решению уравнений

Для упрощения вычислений функцию правдоподобия иногда логарифмируют, так как логарифм является монотон­ной функцией, то L и ln L достигают экстремума при одних и тех же значениях переменных. Наиболее эффективные оценки числовых характеристик, следовательно, могут оп­ределяться из совместного решения уравнений

Пример 16.Определить методом максимального правдоподобия эффективные оценки среднего значения и дисперсиии результата изме­рения, независимые равноточные значения которого подчиняются нор­мальному закону распределения вероятности.

Решение. 1, Плотность распределения вероятности каждого отдель­ного значения результата измерения

Поскольку все значения независимые, плотность распределения вероят­ности системы случайных величин

Таким образом функция правдоподобия

2. Логарифм функции правдоподобия

3. Уравнения, из которых находятся оценки:

4. Решение первого уравнения

совпадает с результатом, полученным методом наименьших квадратов. 5. Решение второго уравнения

дает хотя и эффективную, но как мы видели, несколько смещенную оценку. К несмещенной оценке приводит введение поправочного множителя