![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯПри обработке экспериментальных данных существенное значение имеет вопрос о том, подчиняется или нет результат измерения нормальному закону распределения вероятности. Непротиворечивость такой гипотезы должна быть обязательно проверена. Поскольку ошибки искажают эмпирический закон распределения вероятности результата измерения, постольку проверка предположения о его нормальности производится после исключения ошибок. Правдоподобна или нет гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, можно определить уже по виду гистограммы, построенной на основании экспериментальных данных. Порядок ее построения рассмотрен в примере 4. Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности результата измерения зависит от соблюдения следующих правил при ее построении: 1) интервалы 2) число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими рекомендациями:
3) масштаб выбирать таким, чтобы высота гистограммы относилась к основанию примерно, как 5 к 8. Иногда по виду гистограммы можно с большой уверенностью заключить, что результат измерения подчиняется (или не подчиняется) нормальному закону распределения вероятности. Если, например, гистограмма имеет вид, показанный на рис. 34, а, то результат измерения определенно не подчиняется нормальному закону. Если же гистограмма имеет вид показанный на рис. 34, б, то возникает сомнение: достаточно ли хорошо она соответствует теоретической кривой нормального закона распределения нормальному закону. Если же гистограмма имеет вид показанный на рис. 34, б, то возникает сомнение: достаточно ли хорошо она соответствует теоретической кривой нормального закона распределения плотности вероятности, показанной пунктиром? Для разрешения этого сомнения нужно иметь правило, руководствуясь которым можно было бы принимать то или иное решение.
Существует несколько так называемых критериев согласия, по которым проверяются гипотезы о соответствии экспериментальных данных тому или иному закону распределения вероятности результата измерения. Наиболее распространенным из них является критерий К. Пирсона. При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерения принимается сумма квадратов отклонения частностей значения результата измерения в i-й интервал причем каждое слагаемое берется с коэффициентом п / Если расхождение случайно, то *Здесь k соответствует числу интервалов только при проверке соответствия закона распределения вероятности результата измерения нормальному закону. Пример 17.100 независимых числовых значений результата измерения напряжения цифровым вольтметром, каждое из которых повторилось m раз, приведены в первой графе табл. 9 Таблица 9
Проверить гипотезу о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности. Решение. 1. Используя результаты вспомогательных вычислений, приведенные в третьей графе, найдем среднее арифметическое значение результата изменения- 2. Используя результаты вспомогательных вычислений в четвертой, пятой и шестой графах, найдем стандартное отклонение результата измерения : 3. Ни одно из значений результата измерения не отличается от среднего арифметического больше чем на 3 4. При использовании критерия К. Пирсона в каждом интервале должно быть не меньше пяти независимых значений результата измерения. В соответствии с этим образуем интервалы так, как это представлено во второй графе табл. 10.
Таблица 10
5. Определим, на сколько Полученные значения параметра t (см. разд. 2.3.4) внесем в четвертую графу табл. 10. 6. По значению 7. Теоретическая вероятность Принимая во внимание, что 8. В седьмую и восьмую графу внесены результаты остальных вспомогательных вычислений. Суммирование чисел в восьмой графе дает х2 = 2,528. 9. Из графика на рис. 35 видно, что рассчитанное значение Критерий согласия К. Пирсона широко применяется для проверки гипотез о том, что результат измерения подчиняется вполне определенному закону распределения вероятности. При При использовании критерия К. Пирсона, как и в случае применения других критериев, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода состоит в отклонении верной гипотезы, а ошибка второго рода — в принятии неправильной. Для иллюстрации на рис. 36 показаны кривые плотности распределения вероятности величины Если вероятности, с которой выносится решение, соответствует значение Обе они зависят от значения При проверке нормальности закона распределения вероятности результата измерения применение критерия К. Пирсона дает хорошие результаты только, если п > 40 ... 50. При 10 ... 15 < п < 40 ... 50 применяется так называемый составной критерий. Сначала рассчитывается и проверяется выполнение условия где Таблица 11
Если это условие соблюдается, то дополнительно проверяются "хвосты" теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 Несоблюдения хотя бы одного из двух условий достаточно для того, чтобы гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения была отвергнута. В противном случае гипотеза принимается с вероятностью Р При п < 10 ... 15 гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, не проверяется. Решение принимается на основании анализа априорной информации. 2.6.3. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ, ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Если итоги проверки большого массива экспериментальных данных по критерию Как было показано в разд. 2.3.4, ни одно из случайных значений, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности, не может отличаться от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала. На основании формулы (9) можно написать Заменяя среднее квадратическое отклонение среднего арифметического его оценкой вытекающей из выражения (11), и принимая во внимание, что, как показано в разд. 2.4, где Порядок соответствующих действий показан на рис. 33. Сначала находится стандартное отклонение среднего арифметического, затем выбирается доверительная вероятность и определяется соответствующее ей значение t по верхней кривой на рис. 22. С выбранной доверительной вероятностью значение измеряемой величины Q не отличается от среднего арифметического значения результата измерения больше, чем на половину доверительного интервала При небольшом объеме экспериментальных данных среднее арифметическое значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, само подчиняется закону распределения вероятности Стъюдента (псевдоним B.C. Госсета) с тем же средним значением , Доверительная вероятность того, что любое случайное значение среднего арифметического, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от соседнего значения больше, чем на половину доверительного интервала, где По аналогии с предыдущим нетрудно показать, что
где по-прежнему Порядок действий при обработке небольшого объема экспериментальных данных отличается только тем, что после выбора доверительной вероятности t с учетом п определяется по графику на другом рисунке. При совсем незначительном количестве экспериментальных данных (
|