ОДНОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ

Подавляющее большинство измерений являются од­нократными. Можно сказать, что в обиходе, в торговле, во многих областях производственной деятельности выпол­няются только однократные измерения. В обычных усло­виях их точность вполне приемлема, а простота, высокая производительность (количество измерений в единицу времени) и низкая стоимость (по оценке трудозатрат) ставят их вне конкуренции. Многие люди до конца своей жизни остаются знакомыми только с однократными из­мерениями.

Результат однократного измерения описывается выра­жением (5), приведенным в разд. 2.1. Сам по себе он ни о чем еще не говорит, так как является случайным значени­ем измеряемой величины. Необходимымусловием прове­дения однократного измерения служитналичие априорной информации. К ней относится, например, информация о виде закона распределения вероятности показания и ме­ре его рассеяния, которая извлекается из опыта предшест­вующих измерений. Если ее нет, то используется информа­ция о том, на сколько значение измеряемой величины мо­жет отличаться от результата однократного измерения. Такая информация бывает представлена классом точности средства измерений (см. разд. 4.1). К априорной относит­ся информация о значении аддитивной или мультиплика­тивной поправки (для конкретности ограничимся рассмот­рением аддитивной поправки ). Если оно не известно, то это учитывается ситуационной моделью, согласно ко­торой с одинаковой вероятностью, например, значение поправки может быть, любым в пределах от до . Без априорной информации выполнение однократного измерения бессмысленно.

Порядок действий при однократном измерении пока­зан на рис. 27. Предварительно проводится тщательный анализ априорной информации. В ходе этого анализа уясня­ется физическая сущность изучаемого явления, уточняется его модель, определяются влияющие факторы и меры, направленные на уменьшение их влияния (термостатирование, экранирование, компенсация электрических и маг­нитных полей и др.), значения поправок, принимается решение в пользу той или иной методики измерения, вы­бирается средство измерений, изучаются его метрологи­ческие характеристики и опыт выполнения подобных измерений в прошлом. Важном итогом .этой предваритель­ной работы должна стать твердая уверенность в том, что точности однократного Измерения достаточно для решения поставленной задачи. Если это условие выпол­няется, то после необходимых приготовлений, включаю­щих установку и подготовку к работе средства измере­ний, исключение или компенсацию влияющих факторов, выполняется основная измерительная процедура —получение одного значения отсчета.

Отсчет, согласно основно­му постулату метрологии, яв­ляется случайным числом. Ни одно из отдельных его зна­чений не дает полного пред­ставления о таком числе. По­этому уже на этапе получе­ния отсчета возникает дефи­цит измерительной информа­ции, который может быть восполнен только за счет ап­риорных сведений.

Единственное значение от­счета дает одно единствен­ное значение показания средства измерений, имею­щее ту же размерность, что и измеряемая величина. В это значение показания вносится поправка . Если ее значе­ние известно точно, то ре­зультат измерения Q будет представлен единственным значением

Если значение поправки не известно, то при выбранной ситуа­ционной модели результат однократного измерения , с одинаковой вероятностью может быть любым в пределах от + до , + , ибо в последнем выражении . Конечной целью измерительного эксперимента является получение достоверной количественной информации о значе­нии измеряемой величины Q. На пути к достижению этой це­липолучение результата однократного измерения служит промежуточным этапом. Дальнейшее зависит от того, какая используется априорная информация. Проанализируем нес­колько конкретных вариантов.

Вариант 1. Априорная информация: отсчет, а следо­вательно, и показание подчиняются нормальному закону рас­пределения вероятности со средним квадратическим откло­нением ; точное значение аддитивной поправки равно .

В этом случае результат измерения Q подчиняется нор­мальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением = , но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значение поправки , внесение которой обеспечивает правиль­ность измерения. Задавшись доверительной вероятностью Р, можно по верхней кривой на рис. 22 определить, на сколь­ко результат однократного измерения , может отличать­ся от среднего значения результата измерения , равного зна­чению измеряемой величины Q. Обозначив половину довери­тельного интервала через =t найдем, что с выбранной вероятностью

Вариант 2. Априорная информация: отсчет, а следова­тельно и показание подчиняются равномерному закону рас­пределения вероятности с размахом 2 = ; точное зна­чение аддитивной поправки равно .

Такой вариант встречается при люфте подвижной части измерительного механизма. Результат измерения Q подчиня­ется равномерному закону распределения вероятности с тем же размахом , но смещенному по отношению к закону рас­пределения вероятности показания на значение поправки , внесением которой обеспечивается правильность измере­ния. Значение измеряемой величины Q, равное среднему значению результата измерения , находится в пределах

Вариант 3. Априорная информация: отсчет, а следова­тельно и показание подчиняются неизвестному закону распре­деления вероятности со средним квадратическим отклоне­нием ; точное значение аддитивной поправки равно .

В данном случае закон распределения вероятности резуль­тата измерения неизвестен, известно лишь его среднее квадратическое отклонение = . Вероятность того, что резуль­тат однократного измерения , окажется за пределами дове­рительного интервала при любом законе распределения ве­роятности

Введем в рассмотрение функцию

график которой показан на рис. 28. Это позволит перейти к более компактной записи:

Результат интегрирования не уменьшится, если функцию (Q) заменить показанной на рис. 28 пунктиром квадратичной функцией , которая при всех Q не меньше (Q).

Тогда

Вероятность того, что результат однократного измерения Q, при любом законе распределения вероятности не отличает­ся от среднего значения больше, чем на половину довери­тельного интервала,

Полученная формула носит название неравенства П.Л. Чебышева. Она устанавливает нижнюю границу вероятности того что ни при каком законе распределения вероятности случайное' значение результата измерения не окажется за пределами до­верительного интервала. Эта граница соответствует на рис. 22 нижней кривой.

При симметричных законах распределения вероятности результата измерения неравенство П.Л. Чебышева имеет вид

Соответствующая граница проходит выше и левее. На рис. 22 она показана пунктиром.

Задавшись доверительной вероятностью Р, можно по нижней кривой на рис. 22 определить, на сколько резуль­тат однократного измерения может отличаться от средне­го значения результата измерения , равного значению из­меряемой величины Q, при любом законе распределения ве­роятности. Обозначив, как и ранее, половину доверитель­ного интервала через =t , найдем, что с неменьшей ве­роятностью

Вариант 4. Априорная информация: класс точности средства измерений таков, что значение измеряемой величины не может отличаться от результата однократного измерения больше, чем на ; точное значение аддитивной поправки рав­но .

Этот вариант ничем не отличается от второго. Значение из­меряемой величины

Вариант 5. Априорная информация: отсчет, а следо­вательно, и показание подчиняются нормальному закону рас­пределения вероятности со средним квадратическим отклоне­нием ; значение аддитивной поправки находится в пределах от до .

Ситуационной моделью, учитывающей неопределенность значения поправки, является равномерный закон распределе­ния вероятности на интервале от до . Закон рас­пределения вероятности результата измерения Q представляет собой композицию законов распределения вероятности пока­зания и ситуационной модели. Композиция, в которую входит ситуационная модель, не подчиняется вероятностно-статисти­ческим закономерностям. Однако по аналогии с вариантом 1 в 1981 году Международный комитет мер и весов рекомендовал считать, что с высокой вероятностью среднее значение композиции, равное значению измеряемой величины, не отличается от результата однократного измерения больше,

чем на , где , а коэффициент k, анало­гичный .коэффициенту k, устанавливается по соглашению. Обычно он принимается равным 2 ... 3.

Пример 14. Единственное значение отсчета в условиях, рассмотрен­ных в примере 12, равно 1. Из опыта предшествовавших измерений из­вестно, что отсчет подчиняется нормальному закону распределения ве­роятности со средним квадратическим отклонением . В каких пределах находится значение измеренного линейного размера?

Решение 1. Единственное значение показания равно 1 м. Показание подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением м.

2. Ситуационная модель, учитывающая дефицит информации о зна­чении аддитивной температурной поправки, представлена графически на рис. 18, б. Ее числовые характеристики = 5,5 мм; = 2,6мм.

3. Аналог среднего квадратического отклонения результата измере­ния

4. Принимая k = 2, и выбирая в качестве результата однократного из­мерения = 1000 + 5,5 = 1005,5 мм, получим

Рассмотренный пример позволяет сделать несколько за­мечаний.

Замечание 1.Получение результата измерения слу­жит промежуточным этапом, на котором измерительная ин­формация должна представляться в форме, удобной для ее дальнейшей обработки (переработки). Такой формой явля­ется представление результата измерения с помощью число­вых характеристик закона распределения вероятности. При однократном измерении чаще всего используется такая число­вая характеристика закона распределения вероятности, как среднее квадратическое отклонение (или его аналог). С ее по­мощью определяются пределы, в которых находится значение измеряемой величины, осуществляется внесение поправки, точное значение которой неизвестно. Если пользоваться стан­дартными аппроксимациями законов распределения вероят­ности, представленными в табл. 7, то переход к этой числовой характеристике удобно осуществлять с помощью коэффи­циентов, приведенных в третьей графе.

Замечание 2. Цель измерения состоит в уточнении значения измеряемой величины. Если измерительная информа­ция не предназначена для дальнейшей обработки (переработ­ки) , то она должна быть представлена в форме, удобной для восприятия человеком. Такой формой является указание пре­делов, в которых находится значение измеренной величины. Не рекомендуется пользоваться записью Q = ,так как в силу особенностей человеческой психики при этом возникает некоторая доминанта, акцент на середину интервала, для че­го нет никаких оснований. Все значения Q в интервале Q, равноправны.

Замечание 3. Внесение поправки, точное значение которой неизвестно, с одной стороны смещает интервал, в пределах которого находится значение измеряемой величины,

а с другой — расширяет его. Из рассмотрения рис. 29 следует, что внесение неточно известной поправки целесообразно только тогда, когда

Замечание 4 касается достоверности измерений. Под достоверностью понимается степень доверия к тому, что зна­чение измеренной величины находится в указанном интервале. Рассмотрим два случая, чаще всего встречающиеся на практи­ке.

1. Результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности (см., например, вариант 1), что бывает чаще всего при точно известном значении поправ­ки. Точность результата измерения (см. рис. 30) в этом слу­чае равна точности показания, которая в свою очередь харак­теризует точность средства измерений. Ширина интервала, в котором устанавливается значение изменяемой величины, зависит от выбранной доверительной вероятности. Чем выше эта вероятность, тем с большей гарантией, с большей достовер­ностью устанавливается значение измеряемой величины. С вероятностью 0,95

с вероятностью 0,99

с вероятностью 0,997

Такимобразом, в рассматриваемом случаедоверительная ве­роятность является мерой достоверности измерений.

2. Результат измерения описывается композицией закона распределения вероятности показания и ситуационной модели, учитывающей неточность значения поправки (рис. 31). Досто­верность измерений в этом случае обеспечивается выбором коэффициента k.

Замечание 5 связано с правилами округления. В метрологии принято среднее квадратическое отклонение или его аналог выражать одной значащей цифрой, например, 8; 0,5; 0,007. Две значащие цифры, например, 27; 0,016 удерживаются при особо точных измерениях и в тех случаях, когда значащая цифра старшего разряда меньше 4 (в проме­жуточных вычислениях сохраняется на одну значащую цифру больше). Вследствие этого, при квадратичном суммировании

любым из слагаемых , под радикалом можно пренебречь, ес­лиего учет почти не меняет и. Строго говоря, и при этом мо933

цифрами то условие можно счи­тать выполненным, если и - < 0,05 и, откуда 0,95 и < . Возводя обе части неравенства в квадрат и принимая во вни­мание, что (и' )² = получим

Таким образом.слагаемым

всегда можно пренебречь. Это правило распространяется и на сумму нескольких слагаемых.

жет уменьшиться до , но так как значение и выражается не более, чем двумя значащими

В п 2 3.4 отмечалось, что при измерениях никто не застра­хован от ошибок. Может оказаться ошибочным и единственное значение отсчета при однократном измерении. Во избе­жание такой ошибки однократное измерение рекомендуется 2…3 раза повторить без совместной обработки полученных

результатов.

2.6. МНОГОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ С РАВНОТОЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ОТСЧЕТА

Многократное измерение одной и той же величины пос­тоянного размера производится при повышенных требованиях к точности измерений. Такие измерения характерны для профессиональной метрологической деятельности и выполняются в основном сотрудниками государственной и ведомственных метрологических служб, а также при тонких научных экспериментах. Это сложные, трудоемкие и дорогостоящие измерения, целесообразность которых должна быть всегда убедительно обоснована. Один из создателей теорий информации Л. Бриллюэн в статье “Теория информа­ции и ее приложение к фундаментальным проблемам физики” привел слова Д. Габора о том, что "ничто не дается да­ром, в том числе информация". В полной мере это относится и к измерительной информации.

Результат многократного измерения описывается выраже­нием (6)приведенным в разд. 2.1. Как и результат однократного измерения он является случайным значением измеряемой

величины, но его дисперсия

в п раз меньше дисперсии результата измерения Q. Благодаря такому обстоятельству, как это видно, например, на рис. 32, где выделены интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95, точность определения значения измеряемой величины повышается в раз.

На рис. 32 показан случай, когда результат многократ­ного измерения - среднее арифметическое значение резуль­тата измерения — подчиняется нормальному закону распре­деления вероятности. Так бывает всегда, когда нормальному закону распределения вероятности подчиняется сам резуль­тат измерения Q. Наличие массива экспериментальных дан­ных

позволяет получить апостериорную информацию о законе распределения вероятности результата измерения. В частнос­ти, может быть поставлена задача его определения. Но чаще ограничиваютсяпроверкой нормальности закона распределе­ния вероятности результата измерения и жертвуют точнос­тью при отрицательных результатах проверки.

Другой возможностью, которая открывается благодаря наличию большого объема экспериментальных данных, явля­ется обнаружение и исключение ошибок по правилу "трех сигм". Таким образомспецифическая особенность много­кратного измерения состоит в эффективном использовании апостериорной измерительной информации.

Последнее вовсе не означает, что необходимость в анали­зе априорной информации отпадает. Такой анализ обязатель­но предшествует многократному измерению и преследует те же цели, что и при однократном измерении, но с той разни­цей, что при многократном измерении информация о законе распределения вероятности результата измерения получает­ся опытным путем.

Вслед за анализом априорной информации и тщательной подготовкой к многократному измерению получают п неза­висимых значений отсчета. Эта основная измерительная проце­дура может быть организована по-разному. Если изменением измеряемой величины по времени можно пренебречь, то все значения отсчета проще всего получить путем многократного повторения операции сравнения (2) с помощью одного и того же средства измерений. Отсчет в этом случае будет описывать­ся эмпирической плотностью распределения вероятности р ( )- см. пример 4, где согласно основно­му постулату метрологии каждое значение отсчета является случайным числом, подчиняющимся этому закону распреде­ления вероятности. Такие значения отсчета, имеющие оди­наковую дисперсию, называются равноточными. Если же из априорной информации следует, что за время измерения про­изойдет существенное изменение измеряемой величины, то ее измеряют одновременно несколькими средствами изме­рений, каждое из которых дает одно из независимых значе­ний отсчета x_i. Так как средства измерений могут отличать­ся по точности, то в эмпирической плотности распределения вероятности отсчета p ( )- случайные чис­ла могут иметь разную дисперсию. Такие значения отсчета , называются неравноточными. Многократное измерение с неравноточными значениями отсчета рассматривается в следу­ющем разделе.

Порядок выполнения многократного измерения с равно­точными значениями отсчета показан на рис. 33.

Всезначения отсчета , независимо от способа их полу­чения,переводятся в показания , в которыевносятся поп­равки . Если многократное измерение выполняется од­ним средством измерений, то поправки могут отличаться друг

от друга из-за изменения во времени влияющих факторов, Если же используются одновременно несколько средств из­мерений, то поправки отличаются из-за индивидуальных осо­бенностей каждого из них. Для простоты будем считать их из­вестными точно.

Полученный массив экспериментальных данных может содержать ошибки. Причины появления ошибок и "правило. трех сигм", которым пользуются для их выявления, рассмотрены в разд. 2.3.4. Для того, чтобы воспользо­ваться этим правилом, нужно знать числовые харак­теристики закона распределения вероятности результата измерения — среднее значение и среднее квадратическое от­клонение . Однако, как уже отмечалось в разд. 2.2, 2.4, вычислить их невозможно из-за конечного п и практической нереализуемости интегрирования в бесконечных пределах. Можно лишь как-то оценить эти числовые характеристики на основе ограниченного экспериментального материала, указать их приближенные значения или пределы, в которых они на­ходятся с определенной вероятностью.

Рис. 33. Порядок выполнения многократного измерения при равноточных значениях отсчета

2.6.1. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности случайных чисел или величин, изображаемые точ­кой на числовой оси, называются точечными. В отличие от сам­их числовых характеристик оценки являются случайными, при­чем их значения зависят от объема экспериментальных дан­ных, а законы распределения вероятности — от законов рас­пределения вероятности самих случайных чисел или значений измеряемых величин. Оценки должны удовлетворять трем требованиям: быть состоятельными, несмещенными и эффек­тивными. Состоятельной называется оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой числовой характеристике. Несмещенной является оценка, математическое ожидание ко­торой равно оцениваемой числовой характеристике. Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несме­щенных оценок, которая имеет наименьшее рассеяние.

Рассмотрим п независимых значений , полученных при измерении физической величины постоянного размера. Пусть, как и раньше (см. разд. 2.4), каждое из них отличается от среднего значения на случайное отклонение

Сложив между собой левые и правые части этих уравнений и разделив их на n, получим:

В пределе при п

Здесь

так чтосреднее арифметическое значение результата измере­ния