Установившийся режим

В примерах, показанных на рис. 56, 57, 59, 60, 63, 64, ука­затель отсчетного устройства останавливается на одной из от­меток шкалы спустя некоторое время t после начала измере­ния физической величины постоянного размера. У показываю­щих измерительных приборов это время называется временем установления показания, а режим работы средств измерений после установления показания — установившимся режимом. В установившемся режиме отметкам шкалы отсчетного уст­ройства соответствуют определенные значения измеряемой величины. Это позволяет связать положение указателя в уста­новившемся режиме с неизвестным значением измеряемой величины.

У измерительных преобразователей реакция на входное воздействие называется откликом, или выходным сигналом. Это может быть изменение угла поворота стрелки у прибо­ров, показанных на рис. 56, 57, 59, 60, изменение длины столба термометрической жидкости (в примере, показанном на рис. 63), перемещение стрелочного указателя динамомет­ра (в примере на рис. 64) и т. п. Время установления выход­ного сигнала называется временем реакции средства измере­ний. Зависимость между входным воздействием и откли­ком на него измерительного преобразователя, а также изме­рительного прибора с неименованной шкалой или со шкалой, отградуированной в единицах, отличных от единиц входной величины, называется функцией преобразования.В устано­вившемся режиме функция преобразования представляет собой линейное (например, Х = aQ — см. рис. 65, а)или нелинейное (например, Х = aQ² — см. рис. 65, б или Х = a lg Q — рис. 65, в)алгебраическое уравнение статики.

Как отмечалось в разд. 4.3.2, функция преобразования, принимаемая для всех средств измерений данного типа, на­зывается номинальной. Конкретный экземпляр средства измерений имеет индивидуальную функцию преобразования, несколько отличающуюся от номинальной. Нередко поэтому в нормативно-технических документах на средства измере­ний нормируются пределы, в которых находится их инди­видуальная функция преобразования. Линейную функцию преобразования, проходящую через начало координат, до­пускается представлять коэффициентом преобразования в виде числа. В этом случае нормируются пределы, в которых находится его значение.

Пример 31. Номинальная функция преобразования измерительного преобразователя в установившемся режиме представлена на рис. 65 а. Коэффициент преобразования а_i, у отдельных экземпляров средств измерений этого типа не отличается от номинального больше, чем на 1 %. Что можно сказать о классе точности таких средств измерений?

Решение. Выражения для номинальной и индивидуальной функций преобразования имеют, соответственно, вид:

Вычитая первое уравнение из второго, получим

откуда

По условию это отношение может достигать 0,01. Следовательно, класс точности таких измерительных преобразователей не может быть выше

Сведения о функции преобразования, содержащиеся в нормативно-технических документах, предназначены для ис­пользования в случаях, когда к точности измерений не предъ­является высоких требований. В противном случае может воз­никнуть необходимость уточнения индивидуальной функции преобразования конкретного экземпляра средств измерений. Процедура экспериментального определения функциипреоб­разования отдельного средства измерений в установившемся режиме называется градуировкой.

При градуировке средств измерений находится зависи­мость между известными входными воздействиями и откли­ками на них в установившемся режиме. Различают градуиров­ку в отдельных точках диапазона измерений, при которой функция преобразования может быть представлена, например, таблицей, и построение градуировочной характеристики, ко­торая аппроксимируется аналитическим выражением.

Градуировка в отдельных точках диапазона измерений сводится к обычной обработке экспериментальных данных. Так например, при градуировке ртутного термометра в двух реперных точках (при температуре таяния льда и температуре кипения воды) получают по п значений длины ртутного столба в каждой точке. Затем оба массива экспериментальных дан­ных обрабатывают по правилам, изложенным в разд. 2. В результате с определенной точностью и достоверностью уста­навливают, какой длине ртутного столба соответствует температура 0° С, и какой 100° С.

Построение градуированной характеристики предполагает две возможности. Первая из них заключается в том, что вид функции преобразования известен (линейная, квадратичная, логарифмическая и т. п.), но неизвестны коэффициенты, вхо­дящие в соответствующее алгебраическое уравнение. Вторая возможность состоит в необходимости аппроксимации экспе­риментальных данных аналитической зависимостью.

Если вид функции преобразования X=f(Q) известен, то задача состоит в том, чтобы в ее представлении полиномом соответствующей степени

f (Q) = а_о + а₁Q + а₂Q² +. . .+ а_m Q^m

найти такие значения коэффициентов a₀, а₁ , а₂, . . . , a_m, при которых эта зависимость, называемая тогда уже градуировочной характеристикой, наилучшим образом соответствовала бы экспериментальным данным.

На рис. 66 показаны некоторые варианты построения ли­нейной градуировочной характеристики по эксперименталь­ным данным, нанесенным кружочками. Вопрос о том, какой из вариантов лучше, должен решаться на основе какого-то критерия. Если значения входных воздействий Q₁, Q₂,. . . ,Q_n известны точно, а отклики на них подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то обычно используется критерий наименьших квадратов (см. разд. 2.6.1). Миними­зируется сумма квадратов отклонения откликов по оси ординат от градуировочной характеристики:

Коэффициенты а_о, а₁, а₂, . . . , а_m, .определяющие опти­мальную по критерий наименьших квадратов градуировочную характеристику, находятся из условия равенства нулю производных от этой суммы по каждому коэффициенту.

Пример 32. При градуировке измерительного преобразователя с линейной функцией преобразования получены следующие число­вые значения экспериментальных данных:

Найти методом наименьших квадратов. аналитическое выражение для градуировочной характеристики и построить ее графически.

Решение. 1. Линейная функция преобразования описывается вы­ражением

Х=а_о + а₁Q

где коэффициенты а_о и а₁ методом наименьших квадратов находятся из условия

2. Вышеприведенная функция минимальна в точке, где ее производ­ные по а₀ и а₁ равны нулю. Поэтому коэффициенты а₀ и а₁ определяют­ся в результате решения системы уравнений

Выражения для коэффициентов а₀ и а₁, полученные в рас­смотренном примере, иногда используются при градуировке измерительных преобразователей с нелинейной функцией преобразования. Так, например, если функция преобразова­ния имеет вид

то введение новой переменной позволяет перейти к построению линейной градуировочной характеристики. Точно так же, если

Х= а - b^Q,

f (Q) = а₀ + а₁Q + а₂Q² + ...

неизвестна. Она устанавливается на основании требований к точности градуировки. После этого минимизируется выраже­ние (13). Количество уравнений для определения коэффи­циентов а₀, а₁, а₂,… всегда равно числу неизвестных, так что задача имеет единственное решение. В специальной литературе она иногда называется задачей сглаживания.