Переходный режим

При t < t_у (см. рис. 63, 64) режим работы средства измере­ний называется переходным. В этом режиме сказываются инер­ционные свойства средства изме­рений. Оно не успевает должным образом отреагировать на изме­нение входного воздействия Q (t), в результате чего выход­ной сигнал оказывается искаженным по сравнению с вход­ным. В переходном режиме от­клик средства измерений Х(t) не соответствует значению измеряемой величины, установлен­ному при градуировке шкалы.

Переходный режим работы средства измерений описывает­ся линейным или нелинейным дифференциальным уравнением динамики.

Пример 33.Чувствительный элемент термометра, показанного на рис. 63 резко опускается в среду с постоянной температурой Т_ср Пола­гая, что передача тепла к чувствительному элементу осуществляется с задержкой  во времени, а длина столба термометрической жидкости пропорциональна ее температуре, составить уравнение, описывающее переходный режим работы термометра.

Решение. Уравнение теплового баланса в рассматриваемом случае записывается следующим образом,

Левая часть этого уравнения представляет собой количество тепла, пе­реданного средой чувствительному элементу за время dt Здесь а — коэффициент теплопередачи; S - площадь наружной поверхности чувст­вительного элемента, находящейся в контакте со средой скачок температуры, подводимой к термометрической жидкости чувст­вительного элемента через время т после его погружения в среду с тем­пературой Т_cp; Т - температура термометрической жидкости. В правой части уравнения - количество тепла, полученного за то же время термо­метрической жидкостью с теплоемкостью с.

Обозначая через постоянную времени термометра, называе­мую также постоянной термической инерции, получим

Пример 34.Груз, подвешенный к сжатой пружине динамометра резко отпускается (см. рис. 64). Составить уравнение динамики описывающее переходный режим работы динамометра.

Решение. Согласно второму закону Ньютона

где равнодействующая сил, приложенных к грузу, слагается из силы тя­жести, силы сжатия пружины (k - коэффициент жесткости пружины) и силы сопротивления среды (u- коэффициент сопротивления среды).

Пример 35.Составить уравнение динамики, описывающее переход­ный режим работы интегрирующего звена (см. рис 69) входящего в состав измерительной цепи, при подаче на его вход постоянного на­пряжения U_o.

В общем случае у линейных средств измерений уравнение динамики является неоднородным линейным дифференциаль­ным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициен­тами:

где Q (t) —известное входное воздействие, называемое также входным сигналом, вызывающим отклик на него средства из­мерения Х(t) — выходкой сигнал.

Классический метод решения уравне­ния д и н а м и к и. Решением неоднородного уравнения (14) является сумма общего решения Х_о однородного урав­нения

Для решения однородного уравнения (15) используется его алгебраизация, основанная на свойстве дифференцирова­ния экспоненциальной функции. При Х = е^rt уравнение (15) принимает вид:

(a_n rⁿ + a_n-1 r^n-1 + . . . + a₁ r + a₀ ) e^rt = 0

Это равенство удовлетворяется, если

a_n rⁿ + a_n-1 r^n-1 + . . . + a₁ r + a₀ = 0 (16)

т. е. задача сводится к отысканию корней уравнения (16), ко­торое называется характеристически. Если все корни r₁, r₂, . . . , r_i, . . . , r_n характеристического уравнения разные, то каждому из них соответствует решение X_i = е^rit однородного уравнения (15). Общее решение в этом случае

где коэффициенты b₁,b₂, . . . , b_n — произвольные постоян­ные.

Если какой-нибудь корень характеристического уравнения r_i является корнем k-й кратности, то

; ; . . . ;

тоже служат решениями однородного уравнения (15). Общим решением уравнения (15) в этом случае служит линейная комбинация

Наконец, если среди корней есть комплексные (они могут быть только попарно сопряженными при действительных ко­эффициентах а_i), например, если r_i = a + jb; r₂ =-jb , то в соответствующих членах общего решения функции и должны быть заменены на е^atcosbt и е^atsinbt. Получаю­щиеся при этом выражения вида b₁cosbt + b₂sinbt могут быть представлены в виде Acos(bt +j).

Частное решение уравнения (14) зависит от вида функции Q(t).

Пример 36. Решить уравнение динамики, составленное в предыду­щем примере.

Решение. Характеристическое уравнение, соответствующее однород­ному уравнению

имеет вид .Единственный корень этого уравнения ,поэтому общее решение однородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения динамики, составленного в предыдущем примере, найдем исходя из того, что при оно долж­но соответствовать установившемуся режиму. В установившемся режи­ме конденсатор окажется заряженным до напряжения u₀, т.е.при

Постоянная интегрирования b находится из начальных условий. Так как энергия, запасенная в конденсаторе, не может в момент времени t = 0 измениться скачком от 0 до , u_вых будет плавно нарастать от 0 до u₀ . Это возможно только при b = - u₀ . Поэтому окончательно

График полученной зависимости представлен на рис. 70.

Операторный метод решения уравне­ния д и н а м и к и. При сложных функциях Q(t) отыска­ние частного решения уравнения (14) превращается в пробле­му. В этих случаях пользуются операторным методом решения уравнения динамики.

Идея операторного метода, предложенного в конце XIX ве­ка английским инженером Хевисайдом для расчета переход­ных процессов в электрических цепях,состоит в алгебраизации уравнения динамики, которая достигается путем перехода от временных зависимостей к зависимостям от комплексно­го параметра р = a + jw посредством интегрального преобра­зования Лапласа:

С учетом этих соотношений дифференциальное уравнение динамики (14) при нулевых начальных условиях преобразует­ся в алгебраическое

называется передаточной функцией. Как и уравнение (14), передаточная функция характеризует инерционные свойства средства измерений и может использоваться для изучения переходного режима его работы.

Зная передаточную функцию W(p) и изображение вход­ного воздействия на средство измерений Q (р), можно по формуле

найти изображение отклика средства измерений на это вход­ное воздействие, после чего, применив обратное преобразова­ние Лапласа

Пример 37. Решить уравнение динамики, составленное в примере 33, операторным методом.

Решение*. 1. Применив преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнения, перейдем к его алгебраической форме:

Спектральный метод решения уравне­ния динамики. При некоторых видах входных воздей­ствий для алгебраизации уравнения динамики удобнее пользо­ваться не преобразованием Лапласа, а преобразованием Фурье:

где Х(w) и Q(w) — комплексные спектры соответственно отклика X(t) и входного воздействия Q(t). Операция (19) называется прямым преобразованием Фурье и обозначается

С учетом этих соотношений дифференциальное уравнение динамики (14) преобразуется в алгебраическое

называется комплексным коэффициентом преобразования (передачи). Как и передаточная функция, комплексный коэф­фициент преобразования характеризует инерционные свойства средства измерений и может использоваться для изучения переходного режима его работы. Модуль комплексного коэф­фициента преобразования K(w) называется амплитудно-частотной, а фаза j (w) — фазочастотной характеристиками.

Зная комплексный коэффициент преобразования и комплексный спектр входного воздействия (w), можно по формуле

найти комплексный спектр отклика средства измерений на это входное воздействие, после чего, применив обратное преобразование Фурье

определить сам отклик.

Пример 38. Решить уравнение динамики, составленное в примере 34, спектральным методом.

Решение. 1. Применив преобразование Фурье к левой и правой час­тям уравнения, перейдем к его алгебраической форме:

Обратная задача динамики. До сих пор мы рассматривали входное воздействие Q (t) в виде так называе­мой ступени. На практике зависимость измеряемой величины от времени может быть гораздо более сложной. Задача измерения состоит в определении этойнеизвестной зависимости Q (t) по зарегистрированному отклику на нее Х (t) посредст­вом решения уравнения (14). Такая задача называется обрат­ной задачей динамики.

В общем случае обратная задача динамики не имеет реше­ния. Очень часто, например, в отклике Х(t) -не содержится всей необходимой информации о Q (t), потому что высоко­частотные составляющие входного воздействия отфильтро­ваны вследствие инерционных свойств средства измерений, и информация о них безвозвратно потеряна. Однако в неко­торых случаяхпри наличии определенно априорной информа­ции о Q (t)обратная задача динамики может быть решена.

Так, в частности, на основе априорных сведений о Q (t) иногда можно подобрать такую зависимость Q (t), при кото­рой отклик на нее средства измерений с достаточной степенью точности совпадает с откликом на Q (t)^.Q (t) в этом случае принимается за результат измерения.

Пример 39. Отклик дифференцирующей цепи (рис. 71) на линейно нарастающее напряжение представлен на рис. 72 а. Определить входное воздействие.

Решение методом замещения. Если имеется такая возможность, то на вход дифференцирующей цепи подаются линейно нарастающие напряжения различной крутизны (рис. 72, б), и из них выбирается такое и_вх(t), отклик на которое с требуемой точностью совпадает с представленным на рис. 72, а. Это U_вх(t) с выбранной точностью при­нимается за результат измерения.

Решение расчетным путем. 1. Составим уравнение динамики. Сог­ласно второму закону Кирхгофа

2. Решение уравнения динамики операторным методом. В операторной форме уравнение динамики имеет вид:

Согласно априорной информации входное воздействие u_вх(t) = at, где неизвестный постоянный коэффициент а определяется посредством измерения.

Изображение входного воздействия (см. табл. 19)

Изображение отклика дифференцирующей цепи на линейно нарас­тающее входное воздействие

В этом уравнении с одним неизвестным а подбирается таким, чтобы U_вых(t) c требуемой точностью совпало с представленным на рис. 72, а.

В некоторых случаях отклик средства измерений внешне не имеет ничего общего с входным воздействием, однако при наличии достаточного объема априорной информации позво­ляет решить измерительную задачу.

Пример 40. Отклик дифференцирующей цепи, рассмотренной в при­мере 39, на трапецеидальный импульс представлен на рис. 73 а. Опреде­лить входное воздействие.

Решение. Согласно априорной информации на участке, соответст­вующем переднему фронту трапецеидального импульса

Аналогично (при ненулевых начальных условиях) решается урав­нение динамики для заднего фронта трапецеидального импульса.

График на рис. 73, б представляет окончательное решение задачи. Сравнивая рис. 73, б и рис. 73, а, можно заключить, что по графику на рис. 73, а определяются все параметры входного воздействия (тра­пецеидального импульса).

Приведенный пример показывает, что успешное решение обратной задачи динамики иногда достигается выбором спе­цифического средства измерений (в данном случае дифферен­цирующего измерительного преобразователя).

Решение измерительной задачи методом подбора входного воздействия предполагает использование различных его моде­лей. Сведения о некоторых из них приведены в табл. 19.

При сложных моделях входных воздействий отклики на них рассчитываются методом интеграла Дюамеля. Сущность этого метода заключается в следующем.

Сложное входное воздействие (см. рис. 74) рассматривает­ся как сумма начальной ступени Q (0) · 1(t) и следующих че­рез равные промежутки времени Dt маленьких ступеней, ве­личина которых DQ(n × Dt) »Dt × Q'(n × Dt).

Ранее уже использовалось в решении примеров 37, 39 при­веденное в табл. 19 входное воздействие в виде единичной ступени

Отклик h (t) средства измерений на такое входное воздейст­вие называется переходной характеристикой. Так же как урав­нение динамики, передаточная функция и комплексный коэф­фициент преобразования переходная характеристика отражает инерционные свойства средства измерений.

Отклик средства измерений на каждую n-ю ступень, пока­занную на рис. 74, равен величине этой ступени, умноженной на h (t - n× Dt). В соответствии с принципом суперпозиции (наложения), справедливым для линейных систем, в каждый дискретный момент времени t = k × Dt отклик средства изме­рений определяется как сумма откликов на все предшествую­щие ступени:

Переходя к пределу при n® ¥ и Dt ®0, получим одну из форм так называемого интеграла Дюамеля (интеграла наложения):

С помощью несложных преобразований можно получить и другие его формы:

При расчетах выбирается та из них, подынтегральная функция у которой проще.

Типовые динамические звенья. Любое средство измерений при анализе его инерционных свойств мож­но представить в виде совокупности определенным образом связанных между собой элементарных динамических звеньев. Под динамическим звеном понимается устройство любого фи­зического вида и конструктивного оформления, работа которо­го описывается определенным уравнением, т. е. каждое звено обладает характерными для него динамическими свойствами. Одним и тем же уравнением может описываться работа самых разнообразных устройств (механических, электрических, теп­ловых и др.), но все они в этом случае будут относиться к ди­намическому звену одного и того же типа. Такие звенья при­нято называть типовыми. Математическое описание и характе­ристики инерционных свойств типовых звеньев приведены в табл.20.

В число характеристик средств измерений, определяющих их инерционные свойства, в табл. 20 включена импульсная ха­рактеристика g(t), представляющая собой отклик средства измерений на единичный импульс

называемый так потому, что площадь, ограниченная, этой функцией, равна 1. Как видно из табл. 20,единичный импульс есть ни что иное как первая производная от единичной сту­пени. Иногда он называется дельта-функцией или функцией Дирака.

Все многообразие структурных схем средств измерений может быть представлено с помощью трех вариантов соеди­нения типовых динамических звеньев: последовательного, параллельного и с обратной связью.

Последовательным называется такое соединение звеньев, при котором отклик предыдущего звена является входным воздействием для последующего (см. рис. 75).

Система уравнений, описывающая работу средства изме­рений, имеет вид:

Решение этой системы относительно изображений отклика и входного воздействия:

Таким образом, передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению их передаточных функций:

Параллельным называется такое соединение звеньев, при котором входное воздействие является общим для всех звеньев, а отклики на него суммируются (см. рис. 76).

Работа средства измерений, состоящего из параллельно соединенных динамических звеньев, описывается системой уравнений:

Решение этой системы уравнений относительно изображений входного воздействия и отклика на него средства измерений имеет вид:

Таким образом, передаточная функция параллельного соеди­нения звеньев равна сумме их передаточных функций:

Соединением с обратной связью называется такое соеди­нение, при котором отклик первого звена является одновре­менно откликом соединения и входным воздействием вто­рого звена, а отклик второго звена, алгебраически сумми­руясь с измеряемой величиной, образует входное воздействие первого звена (см. рис. 77). Суть обратной связи заключается в том, что преобразованный вторым звеном отклик либо уси­ливает, либо ослабляет входное воздействие на первое звено.

В первом случае обратная связь называется положительной, во втором —отрицательной.

Работа соединения звеньев с обратной связью описывает­ся системой уравнений:

где знак плюс в последнем уравнении соответствует положи­тельной обратной связи, а знак минус — отрицательной. Отри­цательную обратную связь на схемах принято обозначать зачерненным сектором в суммирующем элементе .

Решение последней системы уравнений:

где уже знак минус соответствует положительной обратной связи, а знак плюс — отрицательной.

Передаточная функция

В общем случае передаточная функция соединения с обратной связью представляет собой дробь, числитель которой равен передаточной функции звеньев, расположенных между точ­ками входного воздействия и отклика на него, а знамена­тель — увеличенному на единицу произведению передаточных функций всех звеньев соединения.

Пример 41. Структурная схема соединения динамических звеньев приведена на рис. 78, а. Определить передаточную функцию устройства.

Решение. Представим структурную схему в упрощенном виде — см. рис. 78,б, где

Для последовательного соединения звеньев, охваченного отрицательной обратной связью,

Теорема разложения. В подавляющем боль­шинстве случаев передаточная функция средства измерений является дробью, из чего следует, что дробью является и изоб­ражение отклика средства измерений, от которого посредст­вом обратного преобразования Лапласа нужно перейти к оригиналу. Данных, приведенных в табл. 19, может оказаться для этого недостаточно. Поэтому широкое применение полу­чила так называемая теорема разложения, сформулированная Хевисайдом. Согласно этой теореме изображение в виде пра­вильной рациональной дроби может быть разложено на прос­тые дроби, оригиналы для которых известны из табл. 19. Оригинал отклика .в этом случае равен сумме оригиналов изображений в виде простых дробей.

Предположим, что изображение отклика имеет вид дроби

где Y (р) и Z (р) — степенные полиномы, причем степень по­линома Y (р) меньше степени n полинома Z (р). Если найти корни a_i, уравнения Z (р) = 0, то указанную дробь можно единственным образом представить в виде суммы простейших правильных дробей. Подобное представление известно в ма­тематике как разложение на простые дроби. При различ­ных вещественных корнях ai члены разложения имеют вид и, в частности, при a₀ = 0, где А_i — постоянные вещественные коэффициенты. Каждому из комплексных кор­ней соответствует дробь того же вида, но коэффициенты ее не являются вещественными. Чтобы избежать операций с комп­лексными числами, выделяют элементарные дроби вида , соответствующие паре комплексно-сопряженных корней. Таким образом, в общем случае изображение отклика можно представить следующей суммой простых дробей:

где ¡ + 21 + 1 = п. Для определения коэффициентов А_о, A₁, . . . , A_r, B₁, C₁, . . . , B_l, C_l существует несколько способов. Достаточно просто эти коэффициенты определяются извест­ным в математике методом неопределенных коэффициентов.

Пример 42. Изображение отклика средства измерений на входное воздействие

Найти оригинал отклика, используя теорему разложения.

Решение. 1. Корни уравнения р² + a₁p = 0 вещественные: a₀ ⁼ 0; a₁ = - a₁

2. Разложение изображения отклика на простые дроби имеет вид:

3. Для определения а_о и A₁ воспользуемся методом неопределен­ных коэффициентов. Приравнивая друг к другу два выражения для Х (р), получим: