Понятие напряженного состояния в точке. Виды напряженных состояний

Глава 4 - Основы теории напряженного состояния

При оценке прочности элементов конструкций, деталей машин и сооружений выполняется анализ наиболее опасных точек или частей этих конструкций. В окрестности исследуемых точек, (например, точка К) выделяется бесконечно малый параллепипед (кубик) и выясняются действующие напряжения по его граням (площадкам) (рисунок 1.1).

Рассмотрим более подробно выделенный кубик с действующими по его площадкам нормальными и касательными напряжениями (рисунок 1.2).

По шести площадкам кубика действуют 18 компонентов нормальных и касательных напряжений, которые попарно равны между собой, если имеют одинаковые индексы. Так, согласно закона парности касательных напряжений выполняются равенства:

Для удобства записи этих напряжений применяется матричный способ. В итоге получают так называемый тензор напряжений:

Таким образом, под напряженным состоянием в точке понимается совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по различным площадкам и направлениям, проходящим через заданную точку. В общем случае, напряженное состояние в точке характеризуется шестью компонентами напряжений – тремя нормальными и тремя касательными.

При изменении положения (ориентации) кубика в пространстве изменяются и действующие по его граням напряжения, при этом существует такое положение кубика, называемое главным, при котором все касательные напряжения исчезают, или обращаются в нуль. Тогда по главным площадкам, где t обращается в нуль, будут действовать только главные нормальные напряжения – s₁, s₂, s₃.

Главные напряжения подчиняются следующему алгебраическому неравенству:

(Например, 100 > 10 > – 300).

Учитывая сказанное, тензор главных напряжений можно записать следующим образом

В зависимости от числа действующих главных напряжений все многообразие напряженных состояний можно привести к трем основным видам – линейному, плоскому и объемному.

Линейное напряженное состояние (л.н.с.) или одноосное напряженное состояние, при котором из трех главных напряжений действует только одно главное напряжение

Линейное напряженное состояние возникает при деформации растяжения или сжатия, а также при деформации изгиба в крайних волокнах (рисунок 1.3).

Полный анализ плоского напряженного состояния был рассмотрен в главе «Растяжение-сжатие» (глава 3).

Плоское напряженное состояние (п.н.с.) или двухосное напряженное состояние возникает, когда только одно главное напряжение обращается в нуль. Варианты п.н.с. могут быть следующие:

Плоское напряженное состояние возникает при деформации кручения, сдвига, среза, изгиба и при некоторых видах сложного сопротивления. В частности, плоское напряженное состояние имеет место в стенках сосудов небольшой толщины, нагруженных внутренним или наружным давлением (рисунок 1.4).

Объемное напряженное состояние (о.н.с.) или трехосное напряженное состояние, при котором все три главных напряжения не равны нулю, т.е.

s₁ ≠ 0 s₂ ≠ 0 s₃ ≠ 0

Объемное напряженное состояние встречается в элементах тяжело нагруженных конструкций, в частности, в толстостенных сосудах, нагруженных давлением, а так же в деталях, имеющих соединения с натягом (с посадкой).