Прямая и обратная задачи при плоском напряженном состоянии

В теории напряженного состояния часто решают задачи по определению напряжений на различных площадках (не главных или главных площадках). Такие задачи называются, соответственно, прямой и обратной и для их решения можно использовать аналитический или графический способ.

Графический способ заключается в построении круговых диаграмм напряжений, называемых кругами Мора (Отто Кристиан Мор). Рассмотрим более подробно решение прямой и обратной задач.

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА

Дано: главная площадка и действующие на ней главные напряжения s₁ и s₂. Задан угол наклона a к площадке (a > 0), для которой определяются нормальные и касательные напряжения.

Найти:

Аналитическое решение производится по формулам:

Зависимость (2.1) представляет собой уравнение окружности, записанное в параметрической форме, поэтому прямая задача имеет следующее графическое решение (рисунок 2.1).

K_a, K_b – изображающие точки, которые показывают исходные площадки с действующими по ним напряжениями.

Для установления направления искомых площадок и напряжений находится положение полюса (П) на круге. Для этого необходимо из точек на круге с известными напряжениями (s₁, s₂) провести лучи по направлению этих напряжений; точка пересечения этих лучей и является полюсом. Полюс обладает таким свойством, что соединение его с любой точкой на круге указывает направление данного напряжения. Проверка решения этой задачи производится по следующим условиям:

- сумма главных напряжений должна равняться сумме неглавных напряжений, действующих по граням заданного элемента напряженного состояния, т.е.

s₁ + s₂ = s_a + s_b,

- t_a и t_b сходятся по грани элемента, где проходит большее главное напряжение s₁; а t_a и t_b расходятся там, где проходит меньшее напряжение – s₂.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Дано: неглавная площадка и действующие по ней нормальные и касательные напряжения, т.е. s_a, s_b, t_a = t_b.

Найти: положение главной площадки и величины главных нормальных и экстремальных касательных напряжений, угол a₀, и s₁, s₂, t_max и t_min.

Аналитическое решение производится по формулам:

Графическое решение обратной задачи выполняется в обратном порядке по сравнению с решением прямой задачи. Получаемый при этом элемент изображен на рисунке 2.2.

В теории напряженного состояния чаще встречается задача обратная, так как это необходимо для установления экстремальных, или опасных, напряжений, а также выполнения оценки прочности конструкции.