Теорема Шеннона о пропускной способности канала

Шеннон показал, что пропускная способность канала С с аддитивным белым гауссовским шумом AWGN является функцией средней можности принятого сигнала S, средней мощности шума N и ширины полосы пропускания W.

(1.1)

Если W измеряется в герцах, а логарифм берется по основанию 2, то пропускная способность имеет размерность бит/с. Теоретически при использовании достаточно сложной системы кодирования информацию по каналу можно передавать с любой скоростью со сколь угодно малой вероятностью возникновения ошибки. Если же , то кода, на основе которого можно добиться сколь угодно малой вероятности возникновения ошибки, не существует. В работе Шеннона показано, что величины S,N,W устанавливают пределы скорости передачи, а не вероятности появления ошибки. Шеннон использовал уравнение (1) для графического представления доступных пределов производительности прикладных систем. Этот график, показанный на рисунке 1.2, представляет нормированную пропускную способность C/W в как функцию отношения сигнал/шум в канале, график, представленный на рисунке 3, изображает зависимость нормированной полосы пропускания канала W/C от отношения сигнал/шум канала.

Рисунок 1.2. Зависимость нормированной пропускной способности канала от SNR.

Рисунок 1.3. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от SNR.

Если учесть что спектральная плотность мощности шума ,

где - нормированная спектральная плотность мощности шума, а битовая скорость передачи равна пропускной способности канала ( и )то выражение (1.1) можно модифицировать следующим образом:

(1.2)

(1.3)

(1.4)

где - битовое отношение сигнал/шум для принятой информации

На рисунке 1.4 представлен график зависимости от , описываемой формулой (1.4).

Рисунок 1.4. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от

Существует нижнее предельное значение , при котором ни при какой скорости передачи нельзя осуществить безошибочную передачу информации. Это значение называется пределом Шеннона. Предел Шеннона – это кривая зависимости от при . При =-1,6 данная кривая скачкообразно меняет свое значение с =1/2 на =0. В действительности достичь предела Шеннона невозможно, т.к. k возрастает неограниченно, а с его ростом возрастают требования к полосе пропускания и повышается сложность реализации системы. Работа Шеннона – это теоретическое доказательство существования кодов, которые могут улучшить или снизить от уровней некодированных двоичных систем модуляции до уровней, приближающихся к предельной кривой.