Содержательный пример задачи принятия решений в задаче проверки статистических гипотез

Содержательный пример

Пусть имеется набор решений и правило выбора решения ,
приписывающее каждому возможному результату наблюдений х
одно из решений, а также матрица потерь (П_jk) , учитывающих по-
следствия выбора решения. Задан критерий качества правила выбора
решения (математическое ожидание) функции потерь.

Проблему, которая будет подробно рассмотрена и которая лежит
в основе многих задач техники и естествознания, можно сформули-
ровать следующим образом: при заданных распределениях Pk, W(XISk),
k = О, ... , т, наборе решений , i=1…m матрице потерь
и критерии качества требуется определить наилучшее в смысле приня-
того критерия правило использования результатов наблюдений х
для принятия решения.

Прежде чем детализировать введенные понятия, проиллюстрируем
их на очень простом примере.

. Пример: передача бинарных сообщений при наличии помех.

Система связи состоит из источника, производящего два сообщения:

ДА и НЕТ, которые преобразуются соответственно в сигналы 1 и О,
канала с помехами, которые могут преобразовывать сигнал 1 в сигнал
О или О в 1, и приемного устройства, воспроизводящего сигналы в не-
искаженном или искаженном виде. Оператор, наблюдающий сигнал
на выходе приемного устройства, должен расшифровать передачу,
т. е. определить по принятому сигналу переданное сообщение.

Если бы сигналы всегда передавались без искажений, то можно
было бы по принятому сигналу дать безошибочный ответ на вопрос,
какое сообщение было послано. Например, по сигналу 1 всегда узна-
валось бы сообщение ДА. Иначе говоря, апостериорная вероятность
сообщения ДА при условии, что принят сигнал 1, равнялась бы еди-
нице. Вследствие искажений помехами принятый сигнал не всегда

Будет достоверно уазывать , какое сообщение было передано, когда
принимается сигнал 1 при передаче сообщения НЕТ,
'. а сигнал О - при передаче сообщения ДА. Возникает необходимость
дать оператору заранее правило поведения в указанной неопределенной-
ситуации,возникшей в результате искажений сигналов,передаваемы по каналу связи, не полагаясь на его интуицию и субъективное суждение.

Рассмотренный простейший пример содержит все элементы приведенной выше постановки проблемы. Сообщения НЕТ и ДА представляют два взаимонесовместимых состояния источника so и s1' Априорные
вероятности этих состояний pо = Р {НЕТ}, p1 = Р{ДА} = 1 - pо
определяют статистическую структуру сообщений, т. е. указывают,
какой процент в длинной последовательности сообщений составляют
сообщения НЕТ и какой процент составляют'сообщения ДА. Возможными ре-
зультатами наблюдений являются сигналы х_о = О, х₁ = 1 (т. е. про-
странство наблюдений Х содержит лишь две точки). Условные вероят-
ности этих сигналов Р {O/so} = 1 - P{l/so}, P{1/s1} = 1 - P{0/ s 1}
определяются вероятностными свойствами помех в канале. Величины
P{O/so}, P{1/s1} представляют вероятности того, что сигналы О и 1
не искажаются помехами, а P{1!so}, Р{О/ sl} - вероятности искаже-
ний двух видов: перехода О в 1 и 1 в О. Набор решений в этом случае
состоит из ᵧо (передано сообщение НЕТ) и ᵧ 1(передано сообщение ДА),
а правило решения предписывает оператору, какое из этих двух реше-
ний он должен выбирать, когда наблюдает сигнал 1 или сигнал О. Эле-
ментами матрицы являются: . «плата» П_О1 за ошибку первого рода
(принятие решения, что было передано сообщение ДА, когда в дей-
ствительности передавалось НЕТ), «плата» П₁₀ за ошибку второго рода
(принятие решения, что было передано сообщение НЕТ, когда в дейст-
вительности передавалось ДА), «выигрыши» П_оо, П_ll, приобретаемые от
правильных решений (или расходы на принятие правильных решений)
при условии, что П_оо <П ₀₁, П_ll < П₁₀. Иногда ограничиваются введе-
нием только потерь из-за ошибочных решений, полагая, что правильным
решениям соответствуют значения П_оо = П_ll = О.

Критерием качества выбора решения является среднее значение
потерь из-за ошибочных решений, взвешенное с вероятностями их
появления. Согласно этому критерию выбирается из двух возможных
правил выбора решения то, для которого величина среднего значения
потерь меньше. Предполагая, что решение выносится по одному наблю-
дению, подсчитаем величины средних потерь для следующих двух пра-
вил выбора решений

Одно правило может быть сформулировано так: наблюдаешь сиг-
нал О - принимай решение ᵧо (и, следовательно, когда наблюдаешь
сигнал 1 - принимай решение ᵧ1)' В этом случае вероятности оши-
бочных решений равны Р{ошибка 1-го рода} = P{ᵧ1/so} = poP{l/so},
Р {ошибка 2-го рода} = P{ᵧO/s1} = p1P{O/s1} и среднее значение
, потерь

R_o = П₀₁р_оР{1/^S0} + П_1О p1P{O/s1}

Другое правило формулируется так: наблюдаешь сигнал О-при-
нимай решение ᵧ1 (и, следовательно, когда наблюдаешь сигнал 1-

принимай решение ᵧ0.

В этом случае вероятности ошибочных решений P{ошибка 1-го рода}= P{ᵧ0/so}=p0P{O/s0]
P {ошибка 2-го рода=P{ᵧ1/s1} = p1P{1/s₁}

И среднее значение потерь R1= П ₀₁роР {O/so}+ П_1Ор1 P{lsS1}'

Исследуемый критерий качества.например, отдает предпочтение первому правилу
, когда R_o меньше R₁,т.к. с ним связано минимальное среднее значение потерь из-за ошибочных решений неизбежных в ситуации воздействия случайных факторов с известной вероятностной мерой. на процесс принятия решений.стороной Х,проводящей операцию. Таким образом исходная многомерная постановка задачи свелась к простой задач отобржаения подсчитанных средних величин потерь на одномерную вещественную шкалу потерь.что явлется задачей принятия решении с использование однокритериального механизма.

Основы теории выбора

ЛЕКЦИЯ № 4 Однокритериальные.многокритериальные и матричные механизмы выбора.

Под вариантом понимается какой либо товар, решающее правило.стратегия,бизнес-план,проект и т. д. Множество вариантов Х ≥ 2. Задача выбора заключается в выделении

из предъявления Х подмножества У или установления факта отказа от выбора. В этом случае говорят, что выбор пуст. Выбор бывает одиночным, если

У= 1,либо множественным, когда У> 1.Особенность задачи выбора заключается в том, что выбор определяется только одной стороной, т.е. отсутствует влияние каких либо факторов

Постановка задачи выбора.

1.Внешнее .входо – выходное описание преобразователя « ВЫБОР» содержит вход,представляющий собой предъявление из Х. Преобразователь перерабатывает по некоторому правилу предъявление из Х и формирует на выходе У .

2.Внутрение описание оператора « ВЫБОР» Задаетя парой .где:

- называетя

,которая является правилом предписывающим как использовать данную для выбора наилучшего варианта.в смысле критерия выбора;

- М = У=С(Х) называется механизмом выбора, однозначно определяющим функцию выбора С(Х).

является вещественная числовая шкала с нанесенными на неё отметками- критериальными оценками .характеризующими свойства вариантов. Например, цена автомобилей одного класса,продаваемых множеством диллеров.оперирующих на рынке продаж. Цена авто является критериальной оценкой, именно с таких позиций оценивается вариант.. ,которая является правилом предписывающим как использовать данную с позиций минимальной цены предписывает выбор варианта с критериальной оценкой .которая расположена левее всех оценок .расположенных на критериальнй шкале.

В случае .когда наилучший вариант авто оценивается с разных точек зрения и с разных позиции( цена. емкость багажника. мощность двигателя и т.д.) необходимо использовать несколько несовпадающих критериальных шкал.характеризующих свойства вариантов.

Здесь речь о многокритериальном механизме. Выделить вариант ,который одновременно по всем критериальным оценкам превосходит все остальные часто на практике невозможно и говорят ,что выбор пуст. Следовально, необходимо использование другой в виде нескольких различных критериальных шкал. Что приводит к необходимости определения соответствующего механизма выбора М (см. конспект) Рассмотренные механизмы выбора относятся к классу критериально-экстремизационных.

В случае отсутствия критериальных оценок вариантов.используется матричные механизмы выбора ,аналогом которых служит таблица шахматных турниров

Таблица представляет собой матрицу, строки и столбцы которой соответствуют учасгникам .Каждый играет с каждым В ячейки матрицы заносят результаты для каждой пары участников. Наилучший вариант, или победитель определяетя максимальной суммой набранных очков в турнире. Особенность матричного механизма (парнодоминантного) выбора заключается в том .что свойства вариантов определяются на момент сравнения.

( содержание лекции в усеченном варианте