Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Рассмотрим дифференцируемую функцию y=f(x).

, , ,

Получаем формулу, используемую в приближенных вычислениях:

Пример:Вычислить sin 31° .

, , ,

Правило Лопиталя: Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестно­сти точки , в некоторой окрестности точки и , то .

Правило Лопиталя распространяется на раскрытие не­определенностей вида

Пример:

Контрольные вопросы:

1) Дайте определение производной функции?

2) Как называют операцию нахождения производной функции?

3) Сформулируйте общие правила дифференцирования функции и напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

4) Как находится производная сложной функции?

5) Как найти производную неявной функции?

6) Что называют обратной функций?

7) Как находится производная обратной функции для данной х=f(х), при каких условиях?

8) Дать понятие производных высшего порядка.

9) Что называют дифференциалом функции?

Задания для самостоятельной работы студентов:

1) Найти производную функции по определению: у=3х²-4х.

2) Используя таблицу производных найти производную сложной функции y=tg³ x², , , , , .

3) Используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производную , , , .

4) Найти производные высших порядков:

, , .

5) Найти дифференциал функции: , .